均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)不等式均值公式.pdf

均值不等式归纳总结

a 2  b 2
1. (1)若 a,b  R ，则 a 2  b 2  2ab (2)若 a,b  R ， 4x  5
以对4x  2 要进行拆、凑项，
5 ， 1  1 
x  ,5  4x  0  y  4x  2   5  4x    3  2  3 1
4 4x  5  5  4x 
1
当且仅当5  4x  ，即 x 1时，上式等号成立，故当 x 1时， y  1。
5  4x max
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数
例 1. 当 时，求 y  x(8  2x) 的最大值。
解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为
定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 2x  (8  2x)  8 为定值，
故只需将 y  x(8  2x) 凑上一个系数即可。

当 ，即 x＝2 时取等号 当 x＝2 时， y  x(8  2x) 的最大值为 8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而
可利用均值不等式求最大值。
3
变式：设 0  x  ，求函数 y  4x(3  2x) 的最大值。
2
3  2x  3  2x  2 9
解：∵ 0  x  ∴ 3  2x  0∴ y  4x(3  2x)  2  2x(3  2x)  2  
2  2  2
3  3 
当且仅当 2x  3  2x, 即 x   0,  时等号成立。
4  2 技巧三： 分离
x 2  7x  10
例 3. 求 y  (x  1) 的值域。
x  1
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的
项，再将其分离。