初三数学四点共圆.docx

四点共圆
重难点
1．理解四点共圆概念；
2．能够利用四点共圆的性质，熟练掌握四点共圆的证明方法；
课前预习
四点共圆与相似
由于新教材舍去了四点共圆的内容，四点共圆不能作为证题的桥梁，但并不是说之前四点共圆能够解 决的问题就没最后根 据两边对应成比例，夹角相等．
BA
C
【答案】连接BM、CN .
由题意，得 BM ± OA, CN ± OD , AAOB =/ COD .
:A、O、C、三点在同一直线上，
•・B、O、D三点在同一直线上.
•・ /BMC = /CNB = 90。.
1
・• PD为BC中点，・•・在Rt^=-BC
2
在 RtABNC 中，PN =1 BC . ，PM = PN
2
.B、M、N、C四点都在以P为圆心，1BC为半径的圆上. 2
AB PM
•・ /MPN = 2/MBN .・•・ /MPN 二 ZABO . ——二 二 1 BO PN
• △ PMNsgAO
• •
【例3】如图，在平行四边形ABCD中，/BAD为钝角，且AE1 BC , AF 1 CD .
(1)求证：A、E、C、F四点共圆；
(2)设线段BD与⑴中的圆交于M、N .求证：BM=ND .
【难度】3星
【解析】（1）： AE1 BC , AF 1 CD , • AAEC^ ZAFC=90。，
B
・•・ ZAEC + ZAFC = 180。，Z. A、E、C、F 四点共圆.
连结AC，设AC. BD相交于O
由(1)可知AC是圆的直径，
又：ABCD是平行四边形，Z O是AC中点，
Z O 是圆心，Z OM = ON ,
・• BO = DO , Z BM = DN .
【答案】见解析
【巩固】如图，CD是 O的直径，弦AE交CD于点Q，点B是DE上一点，BC和DE交于点F . AB ± CD ,
垂足为M，求证：QF // AB .
O
【难度】4星
【解析】连接CE ,
则 ZCED = 90。，又：AB ± CD ,
Z BD = AD ,
Z ZAED =/BCD ,
Z C , E, F , Q四点共圆
Z /FQC = /CEF = 90。, Z QF / AB .
【答案】见解析
【巩固】正方形ABCD的中心为O ,面积为2009 , P为正方形内的一点，且/OPB=45。，PA: PB=4:5 , 求PB.
【难度】4星
【解析】连结OA、OB
・• O是正方形ABCD的中心，
.Z OA = OB, /AOB = 90。 , Z. ZOAB = 45。,
・• / OPB = 45。, Z A、B、O、P 四点共圆，
Z ZAPB = /AOB = 90。，
设 PA = 4 k , PB = 5 k ,
Z PA2 + PB2 = AB2, 即 16k 2 + 25k 2 = 2009 , 解得 k = 7 , Z PB = 5k = 35 .
【答案】35
【拓展】已知在凸五边形ABCDE中，/BAE = 3a , BC = CD = DE ,且/BCD =/CDE=180。— 2a ,求证:
/BAC = /CAD = /DAE .
【难度】4星
【解析】连结BD、CE ,
:BC = CD = DE ,
•・ /CBD = /CDB = /DCE = /DEC = a ,
.•・ /BCE = /BDE = 180。一 3a ,
・• /BAE = 3a ,
.A、B、C、E四点共圆，A、B、D、E四点共圆，
.A、B、C、D、E五点共圆，
二/BAC = /CAD = /DAE .
【答案】见解析
【例4】如图，P是。0外一点，PA和PB是。0的切线，A、B为切点，PO与AB交于点M，过M任 作。0 的弦 CD .求证：/ CPO =/ DPO .
【难度】4星
【解析】：PA、PB 是。0 的切线，.0A1 PA, OP 1 AB , AM = BM ,
.•・ AM 2 = MO - MP ,
・• MA - MB = MC - MD ,
.MC - MD = MA 2 = MO - MP ,
.C、O、D、P四点共圆，
・• OC = OD, . /CPO = /DPO .
【答案】见解析
【巩固】如图，已知AABC内接于。O , AD、BD为。O的切线，作DE 〃 BC ,交AC于E，连结EO并 延长交BC于F，求证：BF=FC .
D
【难度】5星
【解析】连结AO、BO、DO .
D
显然，Rt AAOD 9 Rt ABOD
:.AAOD =/BOD