九年级数学四点共圆例题讲解(共4页).doc

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九年级数学四点共圆例题讲解
知识点、、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。

证明 连PD、PE、PF．由于P、D、C、F四点共圆，所以∠BDP =
∠PEC．又由于A、E、P、F四点共圆，所以∠PEC =∠AFP．于是∠BDP=
∠AFP，故B、D、P、F四点共圆。
例2：设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆。

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证明 以E为相似中心作相似变换，相似比为，此变换把E关于AB、BC、CD、DA的对称点变为E在AB、BC、CD、DA上的射影P、Q、R、 S（如图）.只需证明PQRS是圆内接四边形。
由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及ERDS都是圆内接四边形（每个四边形都有一组对角为直角），由E、P、B、Q共圆有∠EPQ =
∠、Q、C、R共圆有∠ERQ=∠ECQ，于是∠EPQ＋∠ERQ = ∠EBQ＋∠ECQ=90°.同理可得∠EPS＋∠ERS =90°.从而有∠SPQ＋∠QRS =180°，故PQRS是圆内接四边形。
例3：梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，点K位于这两个圆之外，证明：由点K向这两个圆所作的切线长度相等。
证明 如图，设梯形ABCD的两腰为AB和CD，并设AC、BD与相应二圆的第二个交点分别为M、∠AMB、∠CND是半圆上的圆周角，所以∠AM B=∠CND = 90°．从而∠BMC =∠BNC=90°，故B、M、N、C四点共圆，因此∠MNK=∠ACB．又∠ACB =∠KAD，所以∠MNK =∠、N、D、A四点共圆，因此KM·KA = KN·。
例4：如图，A、B为半圆O上的任意两点，AC、BD垂直于直径EF，BH⊥OA，求证：DH=AC.
证法一 在BD上取一点A'，使A'D = AC，则ACDA'是矩形。连结A'H、AB、⊥EF、BH⊥OA，所以∠BDO =∠BHO=90°.于是D、B，
H、O四点共圆，所以∠HOB =∠∠AHB =∠AA'B = 90°，所以A、H、A'、B四点共圆。故∠DA'H=∠OAB，因此∠DHA'=∠ = OB，所以∠OBA=∠OAB，于是∠DHA'=∠DA'=DA'，故DH = AC.

证法二 设圆O'为点D、B、H、O四点所共的圆，过H作HG⊥DH，与圆O'交于G(如图)，则∠AOC=∠HBD=∠DGH，GD = OB = OA.
因此Rt△OA