常用泰勒公式.docx

简介
在数学上 , 一个定义在 开区间 ( a- r , a+r ) 上的无穷 可微的实变函数 或复变函数 f 的
泰勒级数 是如下的 幂级数
这里， n! 表示 n 的阶乘而 f ?(n) (
简介
在数学上 , 一个定义在 开区间 ( a- r , a+r ) 上的无穷 可微的实变函数 或复变函数 f 的
泰勒级数 是如下的 幂级数
这里， n! 表示 n 的阶乘而 f ?(n) ( a) 表示函数 f 在点 a 处的 n 阶导数 。如果泰勒级数对于区间 ( a- r , a+r ) 中的所有 x 都收敛并且级数的和等于 f ( x) ， 那么我们就称函数 f ( x) 为解析的 。当且仅当一个函数可以表示成为 幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于 f ( x) ，我们通常采用 泰勒定理 估计级数的 余项 。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。
如果 a = 0, 那么这个级数也可以被称为 麦克劳伦级数 。
泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先， 幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。 第二，一个解析函数 可被延伸为一个定义在 复平面上的一个开片上的 解析函数 ，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来 近似计算函数的值。
对于一些 无穷可微函数

f (

x)

虽然它们的展开式收敛，但是并不等于

f (

x)

。例如，分
段函数

f ( x)

= exp(?1/

x2)

当 x ≠

0

且 f (0) = 0

，则当

x = 0

所有的导数都为
零，所以这个 f ( x) 的泰勒级数为零， 且其收敛半径 为无穷大，虽然这个函数 f 仅在
x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立， 因为当 z 沿虚轴趋于零时 exp(?
1/ z2) 并不趋于零。
一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些

奇点。但是如果变量

x 是负指数幂
的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，

f ( x) = exp(?1/

x2)

就可以被展开
为一个洛朗级数 。
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