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2023高考文科数学复习数列
数列专项
数×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×[4＋－(n＋1)×2n＋2] ＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2.
18．D2[2023·天津卷] {an}是各项均为正数的等差数列，∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．
(1)设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)设a1＝d，Tn＝,求证：<.
18．证明：(1)由题意得b＝anan＋1，有cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以{cn}是等差数列．
(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)＝2d·＝2d2n(n＋1)，
所以
＝·〔1－〕<.
6．D2[2023·浙江卷] 如图1­1，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)
假设dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，那么(　　)
图1­1
A．{Sn}是等差数列
B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列
D．{d}是等差数列
6．A　[解析] 由题意得，An是线段An－1An＋1
(n≥2)的中点，Bn是线段Bn－1Bn＋1(n≥2)的中点，且线段AnAn＋1的长度都相等，线段BnBn＋1的长度都相等．，由A2作高线h3的垂线A2C2，那么h2－h1＝|A1A2|sin∠A2A1C1，h3－h2＝|A2A3|sin∠|A1A2|＝|A2A3|，∠A2A1C1＝∠A3A2C2，故h1，h2，h3成等差数列，故{Sn}是等差数列．
D3　等比数列及等比数列前n项和
20．A1、D3、D5[2023·江苏卷] 记U＝{1，2，…，100}．对数列{an}(n∈N*)和U的子集T，假设T＝∅，定义ST＝0；假设T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST＝at1＋at2＋…＋：T＝{1，3，66}时，ST＝a1＋a3＋{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意正整数k(1≤k≤100)，假设T⊆{1，2，…，k}，求证：ST<ak＋1；
(3)设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC＋SC∩D≥2SD.
20．解：(1)由得an＝a1·3n－1，n∈N*.
于是当T＝{2，4}时，ST＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.
又ST＝30，所以30a1＝30，即a1＝1，
故数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
(2)证明：因为T⊆{1，2，…，k}，an＝3n－1>0，n∈N*，
所以ST≤a1＋a2＋…＋ak＝1＋3＋…＋3k－1＝(3k－1)<3k.
因此，ST<ak＋1.
(3)证明：下面分三种情况证明．
①假设D是C的子集，那么SC＋SC∩D＝SC＋SD≥SD＋SD＝2SD.
②假设C是D的子集，那么SC＋SC∩D＝SC＋SC＝2SC≥2SD.
③假设D不是C的子集，且C不是D的子集．
令E＝C∩(∁UD)，F＝D∩(∁UC)，那么E≠∅，F≠∅，E∩F＝∅.
于是SC＝SE＋SC∩D，SD＝SF＋SC∩D，进而由SC≥SD，得SE≥SF.
设k是E中最大的数，l为F中最大的数，那么k≥1，l≥1，k≠l.
由(2)知，SE<ak＋1，于是3l－1＝al≤SF≤SE<ak＋1＝3k，所以l－1<k，即l≤k.
又k≠l，故l≤k－1，
从而SF≤a1＋a2＋…＋al＝1＋3＋…＋3l－1
＝≤＝≤，
故SE≥2SF＋1，所以SC－SC∩D≥2(SD－SC∩D)＋1，
即SC＋SC∩D≥2SD＋1.
综合①②③得，SC＋SC∩D≥2SD.
15．D3[2023·全国卷Ⅰ] 设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，那么a1a2…an的最大值为________．