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二重积分的计算方法(1)
1
2
1 利用直角坐标系计算
积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算
对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数在积分区域上连所以
图8
v
u
O
D
y
x
O
图7
根据积分区域选择新变量计算二重积分
当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有且，则把平面上的积分区域对应到平面上简单的矩形区域，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．
例5 求抛物线和直线所围区域的面积．
分析 的面积．实际是计算二重积分，其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现；，如果设，则有，
解 的面积
作变换
1
5
，
所以
．
例6 求．所围区域．
分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T：，它把平面上的区域对应到平面上的矩形区域．
解 令
在变换作用下，区域的原像
，
所以
．
利用极坐标变换计算二重积分
当被积函数含有、或形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换
，
这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为
1
7
.
（1）如果原点，且平面上射线常数与积分区域的边界至多交于两点，则必可表示为
， ．
则有
（5）
类似地，若平面上的圆常数与积分区域的边界至多交于两点，则必可表示为
，
那么
（6）
（2）如果原点为积分区域的内点，的边界的极坐标方程为，则可表示成
，
则有
（7）
（3）如果原点在积分区域的边界上，则为
，
那么
（8）
例7 计算，其中为圆域：
分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为，且原点为的内点，故可采用极坐标变换，可以达到简化被积函数的目的．
解 作变换
1
7
，
则有
．
y
x
图 8
例8 计算二重积分，其中是由直线，以及曲线所围成的平面区域．
分析 首先根据题意，画出积分区域，由于积分区域与一起围成规则图形正方形，且为半圆区域，根据极坐标变换简化被积函数．
解 积分区域如图15所示，为正方形区域，为半圆区域，则有
，
而
，
又
故原式
．
利用广义极坐标变换计算一些二重积分
与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：
1
8
并且雅可比行列式
同样有
（9）
例9 计算，其中
分析　根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．
解　作广义极坐标变换
，
由（9）知

3 某些特殊函数的计算
利用积分区域的对称性简化二重积分的计算
如果 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分和，那么有
如果在上各点处的值与其在上各对称点处的值互为相反数，那么
如果在上各点处的值与其在上各对称点处的值恒相等，那么
[3]
例10 计算，其中为双曲线及所围成区域．
分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到为的偶函数，另一方面
1
9
关于轴对称，且在在上各点处的值与其在上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．
x
y
O
D1
D2
11
解 积分区域如图11所示：为在第一象限内的部分，关于轴对称，又为的偶函数，由对称性有
宜选择先对后对的积分次序
故原式
．
分段函数和带绝对值函数的二重积分计算
分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．
被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号．
例11 求，其中为围成的区域．
分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．
解 为去绝对值号，将分成若干个子区域，即

在内
在内
故原式
，
利用极坐标计算有
1
10
故