多元回归分析.docx

第3节地理多元回归分析
多元回归模型是指含有多个自变量的回归模型，它又分为多元线 性回归模型和多元非线性回归模型，现主要介绍多元线性回归模型。

多元线性回归模型是指含有多个自变量且各自变量与因变量均呈 线性关系
V 口
O L
a l
"1
n
A — X '・ X —
n
n
Xx
Xx
X 、
• Lx
X
x
a1
Xx 2
a2
Xx x
b a k
-X x x
X
a 1
x
a1
Xx x
a1 a2
Xx 2
a1 ak
Xx x
a2
a1 a2
a2
a2 ak
X
:
x
ak
:
X x a 1 x a k
. ・
X x a 2 x a k
.
. X x 2
ak
显然，A为对称性。
常数项矩阵为B，则B _ X
r 1
1
1
-1 \
r y \
f W y
\
x
x
x
x
1
y
W x
a
y
11
21
31
n 1
2
W a 1 x
a
B = X ' • Y =
x
x
x
x
y
- =
y
12
:
22
:
32
: -
n2
:
3
:
a 2
:
a
I L
x
2 k
x
3k
I yn J
：W x a k
y a J
设b = (b,b,b,b,...,b)，则矩阵形式为： 0 12 3 k
Ab = B
于是：
b = A -1B = (X ' • X ) -1 X ' • Y
这就是正规方程组解的矩阵表达式，它便于在计算机上求解。
2中心化原理
中心化原理就是将地理数据进行中心化处理后而建立回归模型的 基本原理，除此以外，还有数据标准化处理等，现仅介绍中心化处理 的基本原理。
由上述可知，数据中心化多元线性回归方程的一般表达式：
y - y = b + b (x - x ) + b (x - x ) + b (x - x ) + …+ b (x - x ) 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 k k k
b为常数项，b ,b ,b ,...,b为偏回归系数。
0 1 2 3 k
式中：
a = 1,2,3,…，n j = 1,2,3,…，k
n
a =1
a =1
于是：
a
a =1
a
a =1
Q = £ [( y - y) - y ]2 = £ ([ y - y ] - [b + b (x - x ) + b (x - x ) + b (x - x ) + …+ b a 2 2 3 a 3
n mm
根据最小二乘法原理，将上式分别对b ,b ,b ,b ,...,b求偏导数，
0 12 3 k
并令其等于零，即：
a =1
ab
a =1
[(y
[( y
-b (x
a1
x)
b (x
a2
b (x
a3
)-
)-
-b (x
x )]
-b
(x
ak
x )]( x
)=
j = 1,2,3,…，k
a = 1,2,3,…，n
k :为自变量个数，
n :为样本个数。
于是可得:
「a Q
ab 0
=-2 Y [(y
a
a =1
一 y) 一 b
0
-b
1
(x
a1
—x
1
)
-b
2
(x
a2
—x
2
)-b
3
(x
a3
—x ) — ,
-b
k
(x
ak
—x
k
)]=0
号 a b1
=-2 Y [(y
a
a =1
-y) - b
0
-b
1
(x
a1
—x
1
)
-b
2
(x
a2
—x
2
)-b
3
(x
a3
-x 3) - . .
-b
k
(x
ak
—x
k
)](xa 1 -目)=0
a Q
< a b
2
=-2 Y [(y
a
a =1
-y) - b
0
-b
1
(x
a1
—x
1
)
-b
2
(x
a2
—x
2
)-b
3
(x
a3
-x 3) - . .
-b
k
(x
ak
—x
k
)](xa2 - x2) = 0
a b
. 3 :
=-2 Y [(y
a
a =1
!
-y) - b
0
:
-b
1
(xa1
—x
1
:
)
-b
2
(x a 2
!
—x
2
)-b 3
(x
a3