高中函数对称性总结.doc

高中函数对称性总结
新课标高中数学教材上就函数的性质着重解说了单一性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考取不乏对函
数对称性、连续性、凹凸性的考察。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，比如二次函数/x的对称性。
我总结为：设（x,y）为原曲线图像上任一点，
如果（x,-y）也在图像上，则该曲线对于x轴对称；
如果（-x,y）也在图像上，则该曲线对于y轴对称；
如果（-x,-y）也在图像上，则该曲线对于原点对称；
如果（y,x）也在图像上，则该曲线对于y=x对称；
如果（-y,-x）也在图像上，则该曲线对于y=-x轴对称。
2、抽象函数的对称性猜测
①轴对称
例6如果函数y=f(x)知足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。（随意取值代入比如x=0有f(1)=f(4)，
正中间，进而该函数对于x=对称）
例7如果函数y=f(x)知足f(x)=f(-x)，求该函数的所有对称轴。（按上例同样的方法能够猜出对称轴为x=0，
可见偶函数是特殊的轴对称）
例8如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。（因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可
以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，所以x=k是它所有的对称轴，k∈Z）
②中心对称
例9如果函数y=f(x)知足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（，3），这就是它的对称中心）
例10如果函数y=f(x)知足f(-x)+f(x)=0，求该函数的所有对称中心。（按上例同样的方法能够猜出对称中心为（0，0），可见奇函数是特殊的中心对称）
例11如果f(x)为奇函数，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期性定义知周
期为4，又f(x+1)=-f(x+3)，进而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1为对称轴，所以x=-1+2n为对称轴，（2k，0）
为对称中心，其中k∈Z）
我总结为：
①当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多少我们能够用特殊值代入来猜
测,这里并不主张记结论，因为很容易与后边的结论相混杂。
②而当x前面的符号相同时告诉我们的是周期性。比如f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6为周期。
③当x前面的符号相同，同时告诉我们奇偶性时我们也能够推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力。
3、两个抽象函数之间的对称性猜测
例12求y=f(x+2)与y=f(1-x)的对称轴方程。（当第一个函数的x取0时，值为f(2),这时第二个函数的x必
须取-1才也对应那么多，他们的正中间为，因而猜测对称轴为x=）
我总结为：
①当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少我们仍然能够用特殊值代入
来猜测,这里仍然不