新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性,因为教材上对它有零散的介绍,例如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角函数的对称性,因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看,这方面一直是教学的难点,尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。
一、对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念
①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)
①常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为x=-b/(2a)。
④反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴。
⑤指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。
⑥对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。
⑦幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y轴;而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0)是它的对称中心,x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化。
⑩余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,(kπ+π/2,0)是它的对称中心。
⑾正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中(kπ/2,0)是它的对称中心,容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是(kπ,0)。
⑿对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴,例如在处理函数y=x+1/)=f(),我在教学时总是问学生:你可看见过老师将“√”两边画得一样齐?学生们立刻明白并记忆深刻。
⒀三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数:这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如y=│lnx│就没有对称性,而y=│sinx│却仍然是轴对称。
二、函数的对称性猜测
1、具体函数特殊的对称性猜测
①一个函数一般是不会关于x轴的
这是
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