隐函数的求导方法.ppt

关于隐函数的求导方法
第1页，讲稿共46张，创作于星期三
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
什么是隐函数？
显函数:
第2页，讲稿共46张，创作于星期三
隐函数:
二元方程
一元隐函数
如
有时可以将隐函数关于隐函数的求导方法
第1页，讲稿共46张，创作于星期三
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
什么是隐函数？
显函数:
第2页，讲稿共46张，创作于星期三
隐函数:
二元方程
一元隐函数
如
有时可以将隐函数显化：
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定理1. 设函数
则方程
单值连续函数 y = f (x) ,
并有连续
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
① 具有连续的偏导数;
的某邻域内可唯一确定一个
在点
的某一邻域内满足
②
③
满足条件
导数
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两边对 x 求导
在
的某邻域内
则
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例1
方法一（公式法）
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例1
方法二（直接求导法）
方程两边对 x 求导，把 y 视为函数。
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例1
方法三（微分法）
方程两边同时微分
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,
二阶导数 :
则还可求隐函数的
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由一个三元方程确定的隐函数
二元显函数：
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二元隐函数：
三元方程
二元隐函数：
如
可以显化
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定理2 .
若函数
的某邻域内具有连续偏导数 ;
则方程
在点
并有连续偏导数
定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
满足
① 在点
满足:
②
③
某一邻域内可唯一确
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两边对 x 求偏导
同样可得
则
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例2
方法一（公式法）
第20页，讲稿共46张，创作于星期三
例2
方法二（求偏导）
方程两边对 x 求偏导，把 z 视为函数，y 视为常数。
第21页，讲稿共46张，创作于星期三
例2
方法三（微分法）
方程两边同时微分
第22页，讲稿共46张，创作于星期三
例2
第23页，讲稿共46张，创作于星期三
解
令
则
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练习
解：
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
由 F、G 的偏导数组成的行列式
称为F、G 的雅可比 行列式.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,
即
雅可比
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定理3.
的某一邻域内具有连续偏
设函数
则方程组
③
的单值连续函数
且有偏导数公式 :
① 在点
②
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件
满足:
导数；
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：
(P85)
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有隐函数组
则
两边对 x 求导得
设方程组
在点P 的某邻域内
解的公式
故得
系数行列式
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同样可得
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例3. 设
解:
方程组两边对 x 求导，并移项得
求
练习: 求
答案:
由题设
故有
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例3. 设
求
解法2（微分法）
方程组两边同时微分
用Gramer法则
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显然，利用全微分法求偏导数更简便
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在点(u,v) 的某一
1) 证明函数组
( x, y) 的某一邻域内
2) 求
解: 1) 令
对 x , y 的偏导数.
在与点 (u, v) 对应的点
邻域内有连续的偏导数,且
唯一确定一组单值、连续且具有
连续偏导数的反函数
第34页，讲稿共46