函数值域求法十一种.doc

函数值域求法十一种
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种
直接察看法
对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。
1
y

则y1,y2在[2，10]上都是增函数
所以yy1y2在[2，10]上是增函数
当x=2时，ymin
2
3
log3
2
1
1
8
当x=10时，ymax
25
log3
9
33
1,33
故所求函数的值域为：8
。
函数值域求法十一种
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函数值域求法十一种
y

2
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种
解：原函数可化为：x1x1
令y1x1,y2x1，显然y1,y2在[1,]上为无上界的增函数
所以yy1，y2在[1,]上也为无上界的增函数
函数值域求法十一种
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函数值域求法十一种
2
2
所以当x=1时，yy1y2有最小值2，原函数有最大值2显然y0，故原函数的值域为(0,2]
换元法
经过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
。
解：令x1t，(t0)
则xt2
1
yt2
t1(t
1)2
3
∵
2
4
又t0，由二次函数的性质可知
当t0时，ymin1
当t0时，y
故函数的值域为[1,)

x
2
1(x
1)2
的值域。
解：因1(x1)2
0
即(x1)2
1
故可令x
1cos
,[0,
]
ycos
1
1
cos2
sin
cos1
∴
2sin(
)
1
4
0
,0
5
4
4
∵
函数值域求法十一种
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函数值域求法十一种
2
)
1
sin(
2
4
0
2sin(
)
11
2
4
故所求函数的值域为[0,12]
x3
x
y
1的值域。

2x2
1
2x
1
x2
解：原函数可变形为：
y
2
x2
2
1x
1
可令xtg，则有1
2x
sin2,1
x2
cos2
x2
1
x2
y
1sin2cos2
1sin4
2
4
k
8时，ymax
1
当
2
4
k
1
当
28时，ymin
4
而此时tan
存心义。
1,1
故所求函数的值域为44

x
,
(sinx
1)(cosx
1)，
122的值域。
解：y
(sinx
1)(cosx
1)
sinxcosx
sinx
cosx
1
令sinx
sinxcosx
1
(t2
1)
cosx
t，则
2
y
1(t2
1)t1
1(t1)2
2
2
由t
sinx
cosx
2sin(x/4)
x
,
且
12
2
2
t
2
可得：2
函数值域求法十一种
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函数值域求法十一种
∴当t2时，ymax
3
，当t
2
3
2
2
2
2时，y
4
2
3
2
3
2
故所求函数的值域为4
,
2
2
。
例15.
求函数y
x4
5x2
的值域。
解：由5
x2
0，可得|x|
5
故可令x
5cos,
[0,
]
y
5cos