重积分的计算法(23).ppt

第二节 二重积分的计算法
一 利用直角坐标计算二重积分
利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。
面积元素
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积分区域
y
X-型区域
Y-型区域
y
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设D（X型）：
利用平行截第二节 二重积分的计算法
一 利用直角坐标计算二重积分
利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。
面积元素
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积分区域
y
X-型区域
Y-型区域
y
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设D（X型）：
利用平行截面面积已知,求立体体积的方法:
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若D为（Y型）：
求二重积分的方法：
将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算
若D（X型）：
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若D不是X型（或Y型），则将D分为几个区域，
使它们为X型（或Y型），几个区域上的积分之和
就是所给二重积分的值。
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例1 计算 ，其中D是由直线y=1,x=2,
及y=x所围区域。
解法 1 把D看成X型域，则
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解法 2 把D看成Y型域，则
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例2 计算 ，其中D是由抛物线
及直线 所围成的区域 。
解 把D看作Y型域
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则
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把D看作X型域
由于在[0，1]和[1，4]上下边界的表达式不同，所以要用直线x=1将D分成两个区域 和
它们分别用以下不等式表示：
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例3 求
若Y型
D
解 X型
则积分较繁。
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例4 求 所围成。
分析 若先 后 积分，则 无法积分。
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例5 交换二次积分的顺序
分析 要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定
积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给
的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新
确立积分限，得到二次积分。
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解 将所给积分限还原成D的图形，由
知D是由y=x，y=2－x，y=0三条直线所围成，
于是按Y型域定限
其中
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例6 交换二次积分的顺序
故D是由
所围成的， 于是
解
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故D是由
所围成的， 于是
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证 由等式左边，得
改变积分顺序，得
左边 右边
所以，
左边 右边
所以，
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二 极坐标计算二重积分
极坐标是由极点和极轴组成，坐标 ，其中r为点p到极点o的距离， 为or到op的夹角。

r =常数；（从o出发的同心圆）
=常数；（射线）
直角坐标与极坐标的关系为：
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面积元素为（矩形）
由直角坐标和极坐标的对应关系，得到
二重积分在极坐标下的形式
其中
底
高
弧长
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于是得到极坐标下，
二重积分化为二次积分的公式：
若积分区域 D：
或写作
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若极点在D的内部
则D可以用不等式 ， 表示，
这时有
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解 利用 把积分区域的边界曲线化为极坐标形式：
于是
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例9 计算 ，其中D是以原点为圆心，半
径为 的圆域。
解 D可以表示成
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问题
本题为何不用直角坐标计算？
如何计算广义积分
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解 用极坐标，
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例11 计算 其中D为
和x轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义。
解 将 化为