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应变的计算方法
应变值的获得有下面几种方法：
一种是利用（1、3、7、9）四个点构成的四边形利用上小节所述的方法进行
计算，分别求出三角形（1、5、3），（1、5、7），（3、5、9），（7、5、9）
的直角顶点 5 的应变值，然后再求平均值，从而获得主应变和主方向。如图 4-8
所示。

图 4-7网格点上应变的获得
图 4-8由斜侧方向点求网格点上应变 图 4-9 由纵横方向点求网格点上
应变
另一种方法就是利用（2、4、8、6）四个点构成的四边形同样利用上小节所
述的方法进行计算，分别求出三角形（2、5、4），（2、5、6），（4、5、8），
（8、5、6）的直角顶点 5 的应变值，然后再求平均值，从而获得主应变和主方
向。如图 4-9所示。
以上两种方法都仅利用了网格点 5 周围的 4 个网格点，而没有充分利用网格
点 5 四周的 8八个网格点，此从计算精度上来因 说，前一种方法在 45°方向上
精度比较高，而后一种方法在 90°方向上精度比较高。为了进一步提高计算精
度，可以将以上两种方法结合起来， 再一次进行平均，由此获得由某个网格点连
同周围 8个点计算出来的网格点应变值。 ?显然，这种方法所带来的问题就是需
要的计算时间相应地要增加很多。

工程应变虽然不具有叠加性质，但它比较直观，在工程实际中应用广泛。
如图 4-10所示，是材料的原始长度，是材料的伸长量。则工程应变为伸长
量相对于原始长度的比值：
(4-27)
图 4-10材料伸长变形
真实应变是伸长比（拉形比）的自然对数，可以表示为：
(4-28)
因此可以由真实应变获得工程应变：
(4-29)
工程应变值如果为正，可以解释为伸长率，如果为负值，则为收缩率，而对
于厚度工程应变，则可以解释为减薄率。对于拉延成形，材料变薄情况是最需要
关注的，用减薄率来反映材料的变形就非常直观。
相应地，真实应变也可以表示为：
(4-30)

等效应变也可以由真实最大主应变和最小主应变获得：
(4-31)

由体积不变条件可以得到真实厚向应变：
(4-32)
材料的真实厚度可由真实应变获得：
(4-33)

对于板材成形工序次数较多的零件，工序之间的应变变化也是需要关注的。
从上一次工序到下一道工序之间的变形的增量应变的计算方法和平面应变的计
算方法相似。但在这种情况下，网格已经发生了变形， 原先变形的网格和再次变
形的网格如图 4-11所示。

图 4-11增量变形 前后三角形网格的形状
文献[49]介绍一种通过坐标变换，将变形前后的三角形的某个边重合而获得
的增量应变三角形节点计算方法：
有四个张量[50],[51]：
：变形梯度张量
：的转置
：柯西-格林变形张量
：拉格朗日应变张量
变形梯度张量 F是从初始三角形的坐标到再次变形的三角形的线