赫兹接触教案课件.pptx

赫兹接触
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Hertz接触理论
很久以来，人们就对接触物体表面的应力、应变、位移及相对滑移感兴趣。早在1881年Hertz首次解决两弹性球体受压接触面之间的压力分布问题。其后将类似方法推广到一般的弹性体接触情形。
则由几何关系有：
(R1－z1)2+r2=R12
(R2－z2)2+r2=R22
得
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当M1,M2离O点很近时，则z1＜＜R1, z2＜＜R2，上面两式可化为：
（a）
而M1、M2两点之间的距离为：
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当两球体沿接触点的公共法线用力F 相压时，在接触点的附近，将产生局部变形而形成一个圆形的接触面。由于接触面边界的半径总是远小于R1、R2，所以可以采用关于半无限体的结果来讨论这种局部变形。
设α为圆心O1、O2因压缩而相互接近的距离，如果M1与O1、M2与O2之间无相对移动，
则M1与M2之间接近的距离也为α；
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现分别用w1和w2表示M1点沿z1方向的位移及M2点沿z2方向的位移（即相外的相对移动）；
于是M1点和M2点之间的距离减少为α－(w1+w2)，如果点M1、M2由于局部变形而成为接触面内的同一点M，则由几何关系有：
α－(w1+w2)=z1+z2
将式（a）代入，得
w1+w2=α－βr2 (b)
其中，
（c）
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根据对称性接触面一定是以接触点O为中心的圆。现以图中的圆表示接触面，而M点表示下面的球体在接触面上的一点（即变形以前的点M1），则按照弹性半空间受垂直压力q的解答，该点的位移为：
其中ν1及E1为下面球体的弹性常数，而积分应包括整个接触面。对于上面的球体，也可以写出相似的表达式，于是：
（d）
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其中
并由（d）式及(c)式得
到此，把问题归结为去寻求未知函数q（即要找出压力的分布规律），使式（e）得到满足。
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根据Hertz的假设，如果在接触面的边界上作半圆球面，而用它在各个点的高度代表压力q各该点处的大小。
例如弦mn上一点压力的大小，可用过mn所作半圆的高度h来代表。
令q0表示接触圆中心O的压，则根据上述假定，应有q0=ka
由此得： k= q0/a
k这个常数因子表示压力分布的比例尺。
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接触圆内任一点的压力，应等于半球面在该点的高度h和k=q0/a的乘积。由此，不难从图可以看出，
A为弦mn上的半圆（用虚线表示）面的面积，即
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由于
代入后再代入式（e）
积分后得：
有
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要使此式对所有的r都成立，等
号两边的常数项和r2的系数分别
相等，于是有
(g)
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这样，只要式（g）成立，Hertz所假定的接触面上压力分布是正确的。根据平衡条件，上述半球体的体积与的乘积应等于总压力F，即
由此的最大压力
(h)
它等于平均压力F/πa2的一倍半。
将式（c）和式（h）代入式（g），
求解a及α
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即得：
由此并可求得最大接触压力为；
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在E1=E2=E及ν1= ν 2=，由上列各式得出工程实践中广泛采用的公式：
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在求出接触面间的压力之后，可利用按照弹性半空间受垂直压力q的解答导出的公式计算出两球体中的应力。
最大压应力发生在接触面中心，值为q0；
处，其值为0