函数单调性的判定方法.pdf

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x  x x  x x x  k
 (x  x )  k( 2 1 )  (x  x )  k( 1 2 )  (x  x )( 1 2 ) ，
1 2 x x 1 2 x x 1 2 x x
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又0  x  x 所以 x  x  0， x x  0，
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当 x 、 x (0, k ]时 x x  k  0  f (x )  f (x )  0 ，此时函数 f (x) 为减函数；
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当 x 、 x  ( k ,) 时 x x  k  0  f (x )  f (x )  0 ，此时函数 f (x) 为增函数。
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k
综上函数 f (x)  x  (k  0) 在区间 (0, k ]内为减函数；在区间 ( k ,) 内为增函
x
数。
此题函数 f (x) 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因
式分解，由于x x  k 与 0 的大小关系(k  0) 不是明确的，因此要分段讨论。
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用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数 x ,x 当
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x  x 时，容易得出 f (x ) 与 f (x ) 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直
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接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较
繁琐。

函数性质法
函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我
们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下
表：
2函数 函数表达式 单调区间 特殊函数图像

一 当k  0 时， y 在 R 上是增函数；
次
函 y  kx b(k  0)
数 当 k  0时， y 在 R 上是减函数。



b
当 a  0 时， x   时 y 单调减,
2a
y  ax 2  bx  c b
二 x   时 y 单调增；
次 2a
函 (a  0,a,b,c  R)