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第5讲 函数的单调性
我们在初中研究了一次函数、二次函数的图象，研究了y =ax+b(a≠0） 和
y = ax2 +bx +c(a≠0） 函数在某个区间内的增大或减小的性质这节课我们讨论一般函数的单调性。（精品文档请下载）
［问题第5讲 函数的单调性
我们在初中研究了一次函数、二次函数的图象，研究了y =ax+b(a≠0） 和
y = ax2 +bx +c(a≠0） 函数在某个区间内的增大或减小的性质这节课我们讨论一般函数的单调性。（精品文档请下载）
［问题1］ 分别作出函数y=3x和y=x2—2x+1的图象，并观察说出在定义域（−∞,+∞)内函数值的增减变化情况.（精品文档请下载）
（1） f （x） =3x的图象在定义域（−∞,+∞) 内，自左至右是上升的,即：函数值
f （x） 随自变量x的增大而增大。
(2) g（x)= x2—2x+1的图象在对称轴左方的区间（−∞，1） 是下降的，在对称轴右方的区间（1,+∞) 是上升的，既:在区间(−∞，1） 内，g（x) 随自变量x 的增大而减小，在区间(1,+∞)内， g(x） 随自变量x 的增大而增大（精品文档请下载）
定义1：设函数y = f （x)（x∈A） ，对于区间(a， b) ⊆ A，
1、假设任意x1、x2∈(a, b）, x1< x2时，都有f（x1）〈f(x2)那么就说,函数y = f (x) 在区间（a, b) 内是增函数（精品文档请下载）
2、假设任意x1、x2∈(a， b），x1〈 x2时，都有f（x1)〉f(x2) 那么就说，函数y = f (x） 在区间(a， b） 内是减函数（精品文档请下载）
定义2：假设函数y = f (x) 在某个区间内是增函数或减函数,那么称f （x)在这一区间内具有单调性,该区间叫做f （x) 的单调区间。（精品文档请下载）
[问题2] 考虑函数的单调性和函数的图象之间的关系。
1、f (x) 是增(减）函数⇔ 图象自左到右上升（下降)
2、图象的峰（谷） ⇔ 函数增(减）变减（增）点⇔ 函数的极大（小)值点
定义3：设函数y = f（x)的定义域为I，假设存在实数M 满足：
（1）对于任意的x ∈ I ，都有f （x）≤M( f （x）≥M)
（2)存在x0 ∈ I ，使得f(x0）=M
那么，我们称M 是函数y = f(x)的最大值（最小值）.
[问题3] 如图是定义在闭区间［—5,5］ 上的函数f （x） 的图象。说出单调区间和在每一单调区间上f (x） 是增函数，还是减函数.（精品文档请下载）
[说明1］ 函数的单调性和定义的区间有关，它是函数的部分性质。
[说明2] 因函数的单调性是对区间而言，单独点没有增减变化，所以考虑区间的单调性时,可以不包括端点.
[说明3］ 初等函数均可分段单调。
函数单调区间和单调性的断定方法(定义法）
任取x1，x2∈D,且x1〈x2；
作差f(x1）－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号(即判断差f(x1）－f(x2）的正负）;
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
[说明4］ 在公共定义域内，两个增函数的和