向量与坐标知识点总结.docx

解析几何复习知识点总结
向量与坐标
第一节向量的概念:空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模(moduius)。
规定,长度为0的向量叫做零向量,记为0.
模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量。记为-a
方向相等且模相等的向量称为相等向量。
长度为一个单位(即模为1)的向量,,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0,a0=a/|a|。
1共线向量定理
两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb
2共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
3空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底,零向量的表示唯一。
向量的加法
三角形定则解决向量加减的方法:将各个向量依次首尾顺次相接,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法:将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,
向量的加法
结果为公共起点的对角线。
平行四边形定则解决向量减法的方法:将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。)
坐标系解向量加减法:
在直角坐标系里面,(x,y)形式,
A(X1,Y1) B(X2,Y2),则A+B=(X1+X2,Y1+Y2),A-B=(X1-X2,Y1-Y2) 
简单地讲:向量的加减就是向量对应分量的加减。类似于物理的正交分解。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
OA-OB=“共同起点,指向被
向量的减法
减”
a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
如图:c=a-b 以b的结束为起点,a的结束为终点。
交换律:a+(-b)=a-b

实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。
当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;
当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
实数p和向量a的点乘乘积是一个数。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa)