向量与坐标知识点总结.docx

解析几何复习知识点总结第一章向量与坐标第一节向量的概念: 空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模( moduius) 。规定,长度为 0 的向量叫做零向量,记为 0. 模为 1 的向量称为单位向量。与向量 a 长度相等而方向相反的向量,称为 a 的相反向量。记为-a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。长度为一个单位( 即模为 1) 的向量, 叫做单位向量. 与向量 a 同向, 且长度为单位 1 的向量,叫做 a 方向上的单位向量,记作 a0,a 0= a /|a|。 1 共线向量定理两个空间向量 a,b 向量(b 向量不等于 0 ), a∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ,使 a=λb2 共面向量定理如果两个向量 a,b 不共线, 则向量 c 与向量 a,b 共面的充要条件是: 存在唯一的一对实数 x,y, 使c=a x+ by3 空间向量分解定理如果三个向量 a、b、c 不共面, 那么对空间任一向量 p, 存在一个唯一的有序实数组 x, y,z ,使 p =x a +y b +z c。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底, 零向量的表示唯一。 向量的加法三角形定则解决向量加减的方法: 将各个向量依次首尾顺次相接, 结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。平行四边形定则解决向量加法的方法: 将两个向量平移至公共起点, 以向量的两条边作平行四边形, 向量的加法结果为公共起点的对角线。平行四边形定则解决向量减法的方法: 将两个向量平移至公共起点, 以向量的两条边作平行四边形,结果由减向量的终点指向被减向量的终点。(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。) 坐标系解向量加减法: 在直角坐标系里面, 定义原点为向量的起点. 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y) 形式, A(X1,Y1) B(X2,Y2) ,则 A+B= ( X1+X2 , Y1+Y2 ), A-B= ( X1-X2 , Y1-Y2 ) 简单地讲:向量的加减就是向量对应分量的加减。类似于物理的正交分解。向量加法的运算律: 交换律: a+b=b+a; 结合律: (a+b )+c=a +(b+c)。减法如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a =-b,b =-a,a+b= 的反向量为 0 OA - OB = BA. 即“共同起点,指向被向量的减法减” a =(x,y) b =(x',y') 则a-b =(x-x',y-y'). 如图: c=a-b 以b 的结束为起点, a 的结束为终点。交换律: a+(-b)=a-b 向量的数乘实数λ和向量 a 的叉乘乘积是一个向量,记作λa ,且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。当λ>0 时, λa 的方向与 a 的方向相同; 当λ<0 时, λa 的方向与 a 的方向相反; 当λ=0 时, λa=0 ,方向任意。当a=0 时,对于任意实数λ,都有λa=0。注:按定义知,如果λa=0 ,那么λ=0 或a=0。实数λ叫做向量 a的系数, 乘数向量λa 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣>1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向( λ>0 )或反方向( λ<0 )上伸长为原来的∣λ∣倍当∣λ∣<1 时,表示向量 a 的有向线段在原方