3.4离散小波变换.pdf

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− j
2 − j
a0 >1, ψψjk,00()ta= () atk−, j ,kZ∈，则定义：
Wjk,,== ftψψ t ft tdt
fj() ( ) ,k( ) ∫ ( ) jk, ( )
R
为 f (t) 的离散小波变换。
离散小波变换是尺度－位移平面的离散点上的函数，（这些点是
2第 3 章 小波变换
规则分布的），与连续小波变换比较少了许多点上的值，自然会引起
以下的问题：
1） 离散小波变换Wjkf ( , ) 是否包含了函数 f (t) 的全部信息？
就是说，能否由Wjkf ( , ) 重构原函数 f (t) ；
2） 是否任意函数都能以ψ jk, (t) 为基表示出来，即有
f tC= ψ ()t
() ∑ jk,, jk ，如果可以，C jk, = ?
jk, ∈ Z
下面需要引入框架的 0 概念来回答这两个问题。
小波框架和 Reisz 基
引入基底和框架的概念，用于研究一个函数空间中的无穷多个元
素之间的关系或求其表达式。
„ 小波框架 Frame
由小波函数构成函数空间的框架称为小波框架。其定义为
设ψ ()t 是小波母函数，则
− j
2 − j
ψψjk,00()ta=−() atkjk, , ∈Z，
2
若对于任何 f ()tLR∈ ( )，有
+∞
222
Af≤∑ f,,ψ jk, ≤ Bf 0 <≤<+∞ A B （1）
t=−∞
+∞
where f ()tft2= ()2dt，则称 ψ (t) 构成了一个小波框架。
∫ { jk, } j,kZ∈
−∞
从物理上说，上式描述了信号 f ()t 在变换后能量的稳定性。常数
保证了变换 是连续的，而 保证了变换是可逆
B <+∞ ff→ { ,ψ jk, } A > 0
的。
3第 3 章 小波变换
„ Reisz 基
A Riesz basis is a frame whose vectors are linearly independent.
若 ψ t 还是线性无关的，即当 Ctψ ( ) = 0 时，必
{ jk, ()} j,kZ∈ ∑ jk,, jk
jk, ∈ Z
有C = 0 ，则称 ψ t 为 基。
jk, { jk, ()} j,kZ∈ Reisz
下面用满足框架条件的离散小波变换Wjkfj( ,,) = ft( ) ψ ,k( t)
来讨论 f (t) 的重构问题。
‰ 紧框架（tight frame）
若 A ==B 1 时，有
f ()tW= ∑ fj (j,(kt )