定积分简单应用——求体积.doc

定积分的简单应用——求体积.
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定积分的简单应用——求体积.
(二)
复习：
（1）求曲边梯形面积的方法是什么？
（2）定积分的几何意义是什么？
减去一圆锥的体积。
V
a2a
y2dy
a31
y|3a0
2a
3
a
0
3
3
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种类二：求组合型几何体的体积
例2：如图，求由抛物线y28x(y0)与直线xy60及y0所围成的图形绕x轴旋转
一周所得几何体的体积。
思路：
解答此题可先由解析式求出交点坐标。
再把组合体分开来求体积。
y28x(y0)x2
解：解方程组得：
xy6
0
y
4
y2
8x与直线x
y6
0的交点坐标为(2,4)
所求几何体的体积为：
V
(8x)2dx
(6
x)2dx16
64
112
2
6
0
2
3
3
规律方法：
解决组合体的体积问题，重点是对其结构进行解析，分解成几个简单几何体体积的和或
差，然后，分别利用定积分求其体积。
练面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体
积。
解：旋转体的体积：
V
1
2dx
4
(2x)
0
3
种类三：相关体积的综合问题：
例3：求由曲线y1x2与y2x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
2
思路：解题的重点是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。
画出草图确定被积函数的边界确定积分上、下限
用定积分表示体积求定积分
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解：曲线

y

1x2与

y

2x

所围成的平面图形如下图：
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设所求旋转体的体积为

V
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根据图像能够看出

V等于曲线

y

2x

，直线

x

2与x轴围成的平面图形绕

轴旋转一
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周所得的旋转体的体积（设为
V1）减去曲线y
1x2直线x
2与x轴围成的平面图形绕x轴
2
旋转一周所得的旋转体