定积分简单应用——求体积.doc

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定积分的简单应用——求体积.
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定积分的简单应用——求体积.
(二)
复习:
(1)求曲边梯形面积的方法是什么?
(2)定积分的几何意义是什么?
(3)微积分基本定理是什么?
引入:
我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。
下边我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
简单几何体的体积计算
问题:设由连续曲线yf(x)和直线xa,xb及x轴围成的平面图形(如图甲)绕x轴
旋转一周所得旋转体的体积为V,如何求V?
分析:
在区间

[a,b]

内插入

n

1个分点,使

a

x0

x1

x2

xn1

xn

b,把曲线
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yf(x)(a

xb)切割成

n个垂直于

x轴的“小长条”,如图甲所示。设第

i个“小长条”
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的宽是

xi

xi

xi

1,i

1,2,

,n。这个“小长条”绕

x轴旋转一周就获取一个厚度是

xi的
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小圆片,如图乙所示。当

xi很小时,第

i个小圆片近似于底面半径为

yi

f(xi)的小圆柱。
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所以,第

i个小圆台的体积

Vi近似为Vi

f2(xi)xi
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该几何体的体积V等于全部小圆柱的体积和:
V[f2(x1)x1f2(x2)x2f2(xn)xn]
这个问题就是积分问题,则有:
b
f2(x)dx
b
2(x)dx
V
f
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a
a
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定积分的简单应用——求体积.
归纳:
设旋转体是由连续曲线y
f(x)和直线xa,x
b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转
V
b
而成,则所获取的几何体的体积为
f2(x)dx
a
2.
利用定积分求旋转体的体积
(1)找准被旋转的平面图形,它的界限曲线直接决定被积函数
(2)分清端点
(3)确立几何体的构造
(4)利用定积分进行体积计算
3.
一个以y轴为中心轴的旋转体的体积
若求绕y轴旋转获取的旋转体的体积,则积分变量变成y,其公式为V
b
2(y)dy
g
a
种类一:求简单几何体的体积
例1:给定一个边长为a的正方形,绕其一边旋转一周,获取一个几何体,求它的体积思路:
由旋转体体积的求法知,先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确立积分上、下限,确立被积函数即可求出体积。
解:以正方形的一个极点为原点,两边所在的直线为x,y轴建立以下列图的平面直角坐标系,
如图BC:ya。则该旋转体即为圆柱的体积为:
a
2dx
a2x|0a
a3
V
a
0
规律方法:
求旋转体的体积,应先建立平面直角坐标系,设旋转曲线函数为f(x)。确立积分上、下限
a,b,则体积V
b
2(x)dx
f
a
:以下列图,给定直角边为
a的等腰直角三角形,绕
y轴旋转一周,求形成的几何体的
练习1
体积。
解:形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。
V
a2a
y2dy
a31
y|3a0
2a
3
a
0
3
3
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种类二:求组合型几何体的体积
例2:如图,求由抛物线y28x(y0)与直线xy60及y0所围成的图形绕x轴旋转
一周所得几何体的体积。
思路:
解答本题可先由分析式求出交点坐标。
再把组合体分开来求体积。
y28x(y0)x2
解:解方程组得:
xy6
0
y
4
y2
8x与直线x
y6
0的交点坐标为(2,4)
所求几何体的体积为:
V
(8x)2dx
(6
x)2dx16
64
112
2
6
0
2
3
3
规律方法:
解决组合体的体积问题,要点是对其构造进行分析,分解成几个简单几何体体积的和或
差,而后,分别利用定积分求其体积。
练面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体
积。
解:旋转体的体积:
V
1
2dx
4
(2x)
0
3
种类三:有关体积的综合问题:
例3:求由曲线y1x2与y2x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
2
思路:解题的要点是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。
画出草图确立被积函数的界限确立积分上、下限
用定积分表示体积求定积分
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解:曲线

y

1x2与

y

2x

所围成的平面图形以下列图:
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2
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设所求旋转体的体积为

V
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依据图像可以看出

V等于曲线

y

2x

,直线

x

2与x轴围成的平面图形绕

轴旋转一
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周所得的旋转体的体积(设为
V1)减去曲线y
1x2直线x
2与x轴围成的平面图形绕x轴
2
旋转一周所得的旋转体的体积(设为
V2)
2
(2x)2dx2
2
1x2|02
V1
0
xdx
2
4
0
2
V2
2
1
x2
2
x4dx
1x5|02
8
dx
2
0
2
4
0
4
5
5
VV1
V2
4
8
12
5
5
反思:
结合图形正确地把求旋转体体积问题转变成求定积分问题是解决此类问题的一般方法。
练习3:求由y
x
1,y
2
x2以及y轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
9
y
x
1
x
3
解:由
2
得:
x2
y
2
y
9
4x4dx
V
(x
1)dx
3
51
3
0
0
81
10
误区警示:忽视了对变量的谈论而致错
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例:已知曲线

y

x2,

y

1

和直线

y

0,

x

a(a

0)。试用

a表示该四条曲线围成的平
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x
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面图形绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积。
思路:掌握对定积分的几何意义,不要忽视了对变量
a的谈论。
y
x2
x
1
解:由
1
得
1
y
x
y
由表示图可知:要对a与1的关系进行谈论:
①①当0
a1时,V
a
a
4dxa5
(x2)2dx
x
0
0
5
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②②当a
1
a
1时,V
(x2)2dx
0
1

1
2
6
dx
x
5a
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a5
(0a
1)
所得旋转体的体积为
V
5
6
(a
1)
5
a
刨根问底:
利用定积分求旋转体的体积问题的要点在于:
(1)找准被旋转的平面图形,它的界限曲线直接决定被积函数
(2)分清端点
(3)确立几何体的构造
(4)利用定积分进行体积计算
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