常微分方程 线性微分方程的基本理论.ppt

常微分方程 线性微分方程的基本理论
*
第1页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
及其各阶导数
均为一次的n阶微分方程称为n阶线性微分方程.
一、基本概念
n阶线性微分方程:
未知函数
一般形式为该函数组在区间
上线性无关。
如果函数组
在区间
(a, b) 上线性相关, 则在(a, b) 上它们的
Wronskian行列式恒等于零, 即
.
*
第16页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
显然对所有的 t, 恒有
但
在
上线性无关.
事实上, 假设存在恒等式
则当
时, 有
当
时, 有
故
在
上线性无关.
注:
*
第17页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
若函数组
是齐线性方程
在区间（a, b）上的n个线性无关的解,
则它们的Wronskian 行列式
在该区间上任何点都不为零.
证明: 用反证法
假设有
使得
*
第18页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
其系数行列式
故它有非零解
现以这组解构造函数
知,
是齐线性方程的解.
考虑关于
的齐次线性代数方程组
*
第19页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
即这个解满足初始条件
又
也是齐线性方程满足初始条件的解,
由解的惟一性知,
由
不全为零, 知矛盾, 从而定理得证.
*
第20页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
则该解组在（a, b）上线性相关.
使得它的Wronskian 行列式
在区间（a, b）上的n个解。如果存在
：设
是方程 ()
: 方程（）的n个解
在其定义区间（a, b）上线性无关的充要条件
存在一点
使得
是在该区间上
*
第21页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
n 阶齐次线性方程（）
一定存在n个线性无关的解.
线性无关解组, 基本解组及通解的关系?
证明:
知, 方程满足初始条件
的解一定存在, 因为
所以这 n 个解一定线性无关, 故定理得证.
*
第22页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
如果 是n阶齐次方程
（）的 n 个线性无关的解。
即方程（）的任一解
都可以
表示成
证明: 设
是方程 () 的任一解, 并且满足条件
则它一定是该方程的基本解组，
*
第23页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
考虑方程组
由于它的系数行列式是方程的n个线性无关解的
Wronskian 行列式在 处的值, 故它不为零.
因而上面的方程组有惟一解
现以这
组解构造函数
由解的叠加原理
和惟一性定理得
即
*
第24页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
(通解结构定理)
若 是方程（）的
n个线性无关的解，则方程的通解可以表示成
其中
是任意常数 .
*
第25页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三

是方程（）的n个解，
设
(等价命题)
(1) 方程（）的通解为
(2) 是方程的基本解组.
(3) 在(a, b)上线性无关.
(4) 存在
使
(5) 任给
有
*
第26页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
定理 (刘维尔公式)
注1： 在 内有一点为零，
则在整个
上恒为零.
设 是（）的任意n个解，
是它的Wronskian行列式，则对(a, b)上任意
都有
一点，
上述公式我们称为刘维尔(Liouville)公式.
*
第27页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
注2：对二阶微分方程
若
是方程的一个解，则可得通解.
设 是与 不同的解，则由刘维尔公式推得
用 乘以上式两端可得
由此得
*
第28页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三
取 , 则
为另一个解，因为
所以
与