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音叉受迫振动与共振实验
音叉的受迫振动与共振实验
一、预备问题
1、实验中策动力的频率为200Hz时,音叉臂的振动频率为多少?
2、实验中在音叉臂上加砝码时,为什么每次加砝码的位置要固定?
二、实验原理
1、音叉的电磁激振与拾振
将一组电磁线圈置于钢质音叉臂的上下方两侧,并靠近音叉臂。对驱动线圈施加交变电流,产生交变磁场,使音叉臂磁化,产生交变的驱动力。接收线圈靠近被磁化的音叉臂放置,可感应出音叉臂的振动信号。由于感应电流I?dB/dt, dB/dt代表交变磁场变化的快慢,其值大小取决于音叉振动的速度,速度越快,磁场变化越快,产生的电流越大,从而使测得的电压值越大。所以,接收线圈测量电压值获得的曲线为音叉受迫振动的速度共振曲线。相应的输出电压代表了音叉的速度共振幅值。
1、简谐振动与阻尼振动
物体的振动速度不大时,它所受的阻力大小通常与速率成正比,若以F表示阻力大小,可将阻力写成下列代数式:
F???????dx(1) dt
式中γ是与阻力相关的比例系数,其值决定于运动物体的形状、大小和周围介质等的性质。
物体的上述振动在有阻尼的情况下,振子的动力学方程为:
d2xdxm2????kx dtdt
其中m为振子的等效质量,k为与振子属性有关的劲度系数。 2令?0?k?,2??,代入上式可得: mm
d2xdx2?2???0x?0(2) 2dtdt
式中?0是对应于无阻尼时的系统振动的固有角频率,?为阻尼系数。
当阻尼较小时,式(2)的解为:
x?A0e??tcos(?t??0)(3) 式中??0??。
由公式(3)可知,如果?=0,则认为是无阻尼的运动,这时x?A0cos(?t??0),成为简谐运动。在?≠0,即在有阻尼的振动情况下,此运动是一种衰减运动。从公式22??02??2可知,相邻两个振幅最大值之间的时间间隔为:
T?2?
??2?(4) 2???2
与无阻尼的周期T?
2、受迫振动 2??0相比,周期变大。
实际的振动都是阻尼振动,,必需对振子施加持续的周期性外力,,,电磁波的周期性电磁场力使天线上电荷产生的受迫振动等。
为简单起见,假设驱动力有如下的形式:
F?F0cos?t
式中F0为驱动力的幅值,?为驱动力的角频率。
振子处在驱动力、阻力和线性回复力三者的作用下,其动力学方程成为
d2xdxm2????kx?F0cos?t(5) dtdt
2仍令?0?k?,2??,得到: mm
F0d2xdx2?2???x?cos?t(6) 0dt2dtm
微分方程理论证明,在阻尼较小时,上述方程的解是:
2x?A0e??tcos(0??2t??0)?Acos(?t??)(7)
1
式中第一项为暂态项,在经过一定时间之后这一项将消失,,其振动式即成为:
x?Acos(?t??)(8)
应该指出,上式虽然与自由简谐振动式(即在无驱动力和阻力下