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函数的单调性


幂函数、指数函数和对数函数·函数的单调性（一)·教案

教学目的
1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．
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(学生思索．）
学生在高中阶段以致在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语,是能否正确地、深化地理解和掌握概念的重要条件,更是学好数学和他各学科的重要一环．因此老师应该教会学生如何深化理解一个概念，以培养学生分析问题,认识问题的才能． （精品文档请下载）
(老师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义,并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时,给以适当的提示．)
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生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．
师：很好,我们在学习任何一个概念的时候，都要擅长抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，分开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家考虑一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的?为什么？ （精品文档请下载）
生：不能．因为此时函数值是一个数．
师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数(注意这四个字“唯一确定”），因此没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛议论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？ （精品文档请下载）
生：不能．比方二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数,在y轴右侧它是增函数．因此我们不能说y=x2是增函数或是减函数． （精品文档请下载）
（在学生答复以下问题时，老师板演函数y=x2的图像,从“形”上感知．）
师：好．他（她)举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间"．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在议论函数的增减性时必须指明相应的区间． （精品文档请下载）
师:还有没有其他的关键词语？
生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有"也是关键词语．
师：你答的很对．能解释一下为什么吗?
（学生不一定能答全,老师应给予必要的提示．）
师：“属于”是什么意思?
生:就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间,不能从其他区间上取．
师：假设是闭区间的话，能否取自区间端点?
生：可以．
师：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生：“任意"就是指不能取特定的值来判断函数的增减性,而
“都有”那么是说只要x1＜x2,f(x1）就必须都小于f（x2），或f(x1）都大于f（x2）． （精品文档请下载）
师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？
(让学生考虑片刻．）
生：可以构造一个反例．考察函数y=x2,在区间[—2，2]上,假设取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1)=4，f（x2）=1，有f（x1)＞f(x2）,假设由此断定y=x2是［—2,2]上的减函数，那就错了． （精品文档请下载）
师：那么如何来说明“都有”呢？
生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f(x2）；当x1=1,x2=2时,有f（x1）＜f（x2)，这时就不能说y=x2，在［—2，2]上是增函数或减函数． （精品文档请下载）
师：好极了!通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数,不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格按照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来断定函数的增减性． （精品文档请下载）
（老师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到详细，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深化地理解概念，锻炼学生的发散思维才能．）
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师:反过来，假设我们f(x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去断定函数值的大小，也可以由函数值的大小去断定自变量的大小．即一般成立那么特殊成立,反之，特