函数的单调性证明.doc

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1. 函数单调性的定义：一般地，设函数的定义域为 ，如果对于属于定义域 内某个区间上的任意两个自变量的值 , ，当时，都有()，那么就说在这个区间上是增函数(减函数).
理解函数单调性时，应注意以下问题：
(1) 函数的单调
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1. 函数单调性的定义：一般地，设函数的定义域为 ，如果对于属于定义域 内某个区间上的任意两个自变量的值 , ，当时，都有()，那么就说在这个区间上是增函数(减函数).
理解函数单调性时，应注意以下问题：
(1) 函数的单调区间是定义域的子集，确定函数单调区间时，应首先确定其定义域，定义域中的 , 相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值替代.
(2) 在区间D1 、D2上是增函数，但不一定在区间D1∪D2上是增函数；同样在区间D1 、D2上是减函数，但在区间D1∪：在区间上为减函数，在上也是减函数，但在上就不能说成是减函数.
例1. 证明函数在区间(0，)上是减函数.
证法一：（定义法）任取、∈(0，)，且 ＜ ，
则，
，
∵ ， ∴，
又∵，∴ ，∴，
∴即，∴，
∴函数在区间(0，)上是减函数.
总结用定义法证明函数单调性的一般步骤是：
(1) 取值：对任意 ，，且；
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(2) 作差变形：；
(3) 定号得出结论.
变式. 求函数的单调区间.
3. 判断函数在区间上的单调性.
证明函数在上是减函数.
　例１　已知函数对任意实数，均有．且当＞０时，＞０，试判断的单调性，并说明理由.
　　解析：设，且，则－＞０，故　＞０．
　　∴　－＝－
　　　　　　　＝＋－
　　　　　　　＝＞０．
∴＜．　故在（－，＋）上为增函数．
例３　已知函数对于任意正数，都有＝·,且≠0,
当＞1时, ＜1．试判断在（０，＋）上的单调性，并说明理由．
　　解析：　　设，（０，＋），且＜．则
　＜１，
　　∴　＞，　故在（０，＋）上为减函数．