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奥林匹克数学的技巧
有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，一般的状况是，在一般思维规律的指引下，灵活运用数学基本知识去进行摸索与尝试、选择与组合。这当中，常常使用某些措施和原理（如摸索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原预知结论），无穷递降法相联系，核心是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。
用递推的措施计数时要抓好三个环节：
（1）设某一过程为数列，求出初始值等，取值的个数由第二步递推的需要决定。
（2）找出与，等之间的递推关系，即建立函数方程。
（3）解函数方程
例2-132 整数1，2，…，n的排列满足：每个数不小于它之前的所有的数或者不不小于它之前的所有的数。试问有多少个这样的排列？
解 通过建立递推关系来计算。设所求的个数为，则（1）
对，如果排在第位，则它之后的个数完全拟定，只能是…,2，1。而它之前的个数，…,，有种排法，令…,得递推关系。
（2）
由（1），（2）得
例2-133 设是正整数，表达用2×1矩形覆盖的措施数；表达由1和2构成的各项和为的数列的个数；且 ，证明
证明 由的定义，容易得到
又由于，且当时，
类似地可证在时也有，从而和有相似的递推关系和相似的初始条件，因此。
用无穷递降法求解也用到了这一技巧。
2-7-4 辨别
当“数学黑箱”过于复杂时，可以分割为若干个小黑箱逐个破译，即把具有共同性质的部分分为一类，形成数学上很有特色的措施——辨别状况或分类，不会对的地分类就谈不上掌握数学。
有时候，也可以把一种问题分阶段排成某些小目的系列，使得一旦证明了前面的状况，便可用来证明背面的状况，称为爬坡式程序。例如，解柯西函数方程就是将整数的状况归结为自然数的状况来解决，再将有理数的状况归结为整数的状况来解决，最后是实数的状况归结为有理数的状况来解决。的解决也体现了爬坡式的推理（例2-47）。
辨别状况不仅分化了问题的难度，并且分类原则自身又附加了一种已知条件，因此，每一类子问题的解决都大大减少了难度。
例2-134 设凸四边形ABCD的面积为1，求证在它的边上（涉及顶点）或内部可以找出4个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的4个三角形的面积均不小于1/4。
证明 作二级分类
1．当四边形ABCD为平行四边形时，
A，B，C，D即为所求，命题成立。
2．当四边形ABCD不是平行四边形时，则至少有一组对边不平行，设AD与BC不平行，且直线AD与直线BC相交于E，又设D到AB的距离不超过C到AB的距离，过D作AB的平行线交BC于F，然后分两种状况讨论。
（1）如图2-52，，此时可作△EAB的中位线PQ、QG，则
即A、G、Q、P为所求。
（2）如图2-53，，此时可在CD与CF上分别取P、Q，使。过Q9或P）作QG∥AP交AB于G。为证，连AP交BE于M，过A作AH∥BC交CD延长线于H。有
得
故A、P、Q、G为所求，
这事实上已证明了一种更强的命题：面积为1的凸四边形一定能嵌入一种面积不小于1/2的平行四边形。
例2-135 对内角分别为为30°、60°、90°的三角形的顶点和各边四等分点共12个点，染以红色或蓝色，则必存在同色的三点，以它们为顶点的三角形与原三角形相似。
证明 设△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠C=30°，点A1，A2，A3；B1，B2，B3；C1，C2，C3分别是边AB、BC、CA的四等分点，下面作三级分类。
1．点A、B、C同色时，结论显然成立。
2．点A、B、C异色时，记A为红色，写作A（红），其他各点染色记号类同。
（1）A（红），B（红），C（蓝）时，由△ABC~△B1BA~△C3B1C~△C3AA3~△A2A3B1~△AA2C2~△C2B2C~△A2AB2知，若结论不成立，则有
B1（蓝）→C3（红）→A3（蓝）→A2（红）→C2（蓝）→B2（红）→A（蓝）。
这与A（红）矛盾。
（2）A（红），B（蓝），C（红）时，由△ABC~△B1AC~△A3BB1~△AC3A3~△C2C3B1~△C2B2C~△A2BB2~△AA2C2知，若结论不成立，则有B1（蓝）→A3（红）→C3（蓝）→C2（红）→B2（蓝）→A2（红）→A（蓝）这与A（红）矛盾。
（3）A（红），B（蓝），C（蓝）时，又分两种状况：
（3）1当B1（红）时，由△ABC~△B2B1A~△B2C2C~△AA2C2~△A2BB2知，若结论不成立，则有B2（蓝）→C2（红）→A2（蓝）→B（红）。这与B（蓝）矛盾。图（2-56）
（3）2当B1（蓝）时，由△ABC~△C3B1C~△C3AA3~△A3BB1知，若结论不成立，则