离散小波变换.docx

离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数值分析和时频分析中很有用。 第一个离散小波变换由匈牙利数学家发明，离散小波变换顾名思义就是离散的输 入以及离散的输出，但是这里并没有一个简单而明确的公式来表示输入及输出离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数值分析和时频分析中很有用。 第一个离散小波变换由匈牙利数学家发明，离散小波变换顾名思义就是离散的输 入以及离散的输出，但是这里并没有一个简单而明确的公式来表示输入及输出的 关系，只能以阶层式架构来表示。
定义
•首先我们定义一些需要用到的信号及滤波器。
x[n]：离散的输入信号，长度为N。
'I： low pass filter低通滤波器，可以将输入信号的高频部份滤掉而 输出低频部份。
•八；I： high pass filter高通滤波器，与低通滤波器相反，滤掉低频部 份而输出高频部份。
-Q： downsampling filter降采样滤波器，如果以x[n]作为输入，则输
出 y[n]=x[Qn] 。此处举例 Q=2。
清楚规定以上符号之后，便可以利用阶层架构来介绍如何将一个离散信号 作离散小波变换：
架构中的第1层(1st st age)
K-l
工1上拥=52圧[加—k]g[k]
fe=O
K-l
衍的]=工H[加一冏力械]
fc=O
架构中的第2层(2nd st age)
K-l
叼上囲=刀王1上[加—k]g[k]
fe=O
K-l
畋,丹网=刀叫如—k]h[k] k=Q
可继续延伸
架构中的第fl层(门 st age)
K-l
珀上网=52珀—I上[2陀一k]g[k]
fc=O
K-l
工6丹网=》2 %—1上[加—k]h[k]
如=0
N
注意：若输入信号王网的长度是N,则第好层中的工缶乙忸]及％円[陀]的长度为2。
二维离散小波转换
此时的输入信号变成而转换过程变得更复杂，说明如下:
首先对 n 方向作高通、低通以及降频的处理
K_1
viiL[m, n] = 52 xlm' 加-k]g[fc]
fe=O
K-l
陀]= Y ^[m? 2n —
fc=O
■■一与心上'.；H-延著m方向作高低通及降频动作
K-1
助上加几 n]=刀 vliL\2m - k,n]g[k]
Jt=O
K-l
工1皿[肌小]=52 viiL\2m-k,n]h[k]
fe=O
K-l
Hi上川肌・陀]=52 [2m —鳥咖凶]
k=Q
K-l
电丹丹[叫血]=52 -k,n]h[k]
fc=O
经过(1)(2)两个步骤才算完成 2-D DWT 的一个 stage。
编辑] 实际范例
以下根据上述2-D DWT的步骤，对一张影像作二维离散小波变换(2D Discrete
Wavelet Transform)
300
原始影像
2D DWT 的结果
[编辑]复杂度(Complexity)
在讨论复杂度之前，先做一些定义，当x[n]*y[n]时，x[n]之长度为N, y[n]之 长度为L：:
其中，
/门'. I为(N+L-1)点离散傅里叶反转换(