高三-圆锥曲线知识点总结.doc

高三-圆锥曲线知识点总结
3
第八章 《圆锥曲线》专题复习
一、椭圆方程.
1. 椭圆的第一定义：
2．椭圆的方程形式：
①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，（1）已知双曲线方程，求它的渐近线方程，将双曲线的标准方程 中的常数“1”换成“0”，即得 =0，然后分解因式即可得到其渐近线方程 =0；若求中心不在原点，对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程x，y分别配方，然后将常数“1”换成“0”，再分解因式，则可得渐近线方程，例如双曲线=1的渐近线方程为=0，即y±3（x+2），因此，如果双曲线的方程已经确定，那么它的渐近线方程也就确定了。
（2）求已知渐近线的双曲线方程，已知渐近线方程为=0时，可设双曲线方程为，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法，如果已知双曲线的渐近线，双曲线方程却不是惟一确定的。
11
5、在建立抛物线的标准方程的坐标系时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
五．直线和圆锥曲线的位置关系:相交，相切，相离。
1．直线与圆锥曲线C位置关系的判断:
　　判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。
　　①当a≠0时，
　　　若Δ＞0，则与C相交；
　　　若Δ=0，则与C相切；
　　　若Δ＜0，则有与C相离。
　　②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点
　　　若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；
　　　若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。
　　注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。
12
2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
　　斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设，，则
　　弦长公式：
　　当时, 弦长公式还可以写成：
　　注意：利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理。
.
1．坐标法的定义：
　　在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程表示曲线，.
2．坐标法求曲线方程的步骤：
　　建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）
3．求轨迹方程的常用方法：
　　直接法、定义法、代入法、参数法等。
12
.
1．三种圆锥曲线定义、标准方程及简单几何性质的对比:
　
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点F1、F2的距离之和为定值2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹
1．到两定点F1、F2的距离之差的绝对值的为定值2a（0＜2a＜|F1F2|）的点的轨迹
　
2．与定点和定直线的距离之比为定值e的点的轨迹（0＜e＜1）
2．与定点和定直线的距离之比为定值e的点的轨迹（e＞1）
与定点和定直线的距离相等的点的轨迹
图形
方
程
标准
方程
14
参数
方程
（参数为离心角）
（参数为离心角）
（t为参数）
范围
，
，
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）
　
顶点
（a，0）（－a，0），
（0，b），（0，－b）
（a，0），（－a，0）
（0，0）
对称轴
x轴，y轴；
长轴长2a，短轴长2b
x轴，y轴；
实轴长2a，虚轴长2b
x轴
焦点
F1（c，0），F2（－c，0）
F1（c，0），F2（－c，0）
焦距
　
离心率
e=1
准线
14
渐近线
　
　
2．有关圆锥曲线综合题类型:
(1)求圆锥曲线方程
　　一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
　　定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。
　　定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)
　　定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数