建筑力学课件第十章.ppt

第十章弹性杆件的变形和横截面的位移分析
第一节积分法计算杆件横截面位移
第二节叠加法计算杆件位移
总结与讨论
习题
第十章弹性杆件的变形和横截面的位移分析
位移是指弹性体受力变形后,一点位置的改变。对于杆件则指横截面在杆件受力变形后的位置改变。位移是杆件各部分变形累加的结果。位移与变形有着密切联系,但又有严格区别。有变形不一定处处有位移;有位移也不一定有变形。这是因为,杆件横截面的位移不仅与变形有关,而且还与杆件所受的约束有关。
只要在弹性范围内加载,不管产生什么位移,杆件均保持为连续体,并在约束处满足变形协调要求。在数学上,确定杆件横截面位移的过程主要是积分运算,积分常数则与约束条件和连续条件有关。
若材料的应力—应变关系满足胡克定律,又在弹性范围内加载,则位移与力(均为广义的)之间均存在线性关系。因此,不同的力在同一处引起的同一种位移可以相互叠加。
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积分法计算杆件横截面位移
微段的变形
对于细长杆件,六个内力分量FNx、My、Mz、Mx、FQy,FQz中,剪力FQy和FQz对变形的影响很小,因而工程中一般不考虑剪力引起的变形。
根据第8章的分析,得到FNx、My、Mz和Mx引起的杆件微段弹性变形分别为


式中,ex为FNx引起的微段的正应变;ρy和ρz分别为My和Mz引起的微段中性面的曲率半径;dφ/dx为引起的微段单位长度上相对扭转角。上述各式中,EA为杆件的拉压刚度;EIy和EIz分别为杆件对形心主轴y和z的弯曲刚度;GIp为杆件的扭转刚度。
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积分法计算杆件横截面位移
如图10-1所示,考虑到,由上述公式,得到弹性范围内微段变形的另一种形式表达式
(10-1)
(10-2)
(10-3)
(10-4)
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积分法计算杆件横截面位移
式中,为微段的轴向变形(伸长或缩短),即微段两截面相对轴向位移;和分别为微段两截面绕中性轴y轴和z轴相对转过的角度;为微段两截面绕杆轴线相对转过的角度
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积分法计算杆件横截面位移
杆件的横截面位移
在工程实际中,我们关注杆类构件横截面位移,包括相对位移和绝对位移。对于在空间没有受到约束的杆件,考虑杆件截面相对位移;对于在空间中受到约束的杆件,考虑杆件横截面对于某一固定点的位移。
在小变形情形下,由、、、引起的变形和位移都是相互独立的,因而可以单独加以分析和计算。
对于工程实际中常见的轴心受力、受扭及受弯构件的横截面位移的计算,下文分别进行讨论。
1. 轴心受力杆件的轴向位移计算
可以利用式(10-1)计算轴心受力杆件轴向的位移,根据不同的约束条件,将式(10-1)左右两端取积分,可以求出相对位移或绝对位移。
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积分法计算杆件横截面位移
对于如图10-2所示轴心受力杆,只能求出杆件两端截面受力平衡后的相对位移,一般也称为伸长或缩短,常用表示。
对于如图10-2所示长为的等截面杆,在外力作用下处于弹性平衡状态,则杆件的伸长可以将式(10-1)左右两端积分,并将左端用表示,即得杆件的伸长:
(10-5)
对于具体受力形式,上式可以进一步简化,对于如图10-2(a)所示的情形,、为常数,式(10-5)可以简化为
(10-6)
对于如图10-2(b)所示的情形,作用杆上的外集中力将杆件分成段,每一段上、是常数,则对于此种情形,式(10-5)简化为:
(10-7)
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积分法计算杆件横截面位移
对于如图10-2(c)所示的情形,作用杆上的外力有分布力系,随截面位置在变化,但是常数,式(10-5)化为:
(10-8)
对于更一般的情形,及都随截面位置变化的情形,需要将式(10-5)应换成来求解,即
(10-9)
对于在空间中受到约束的杆件,只有确定了杆件在空间的位置,才能确定杆件横截面的位移。拉(压)杆件横截面的轴向位移可表示为
(10-10)
也可以写成不定积分形式,积分限和积分常数均需由约束条件确定。
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积分法计算杆件横截面位移
例10-1 如图10-3所示自由悬挂的变截面杆是圆锥体。其上下两端的直径分别为和。
试求由载荷引起的轴向变形(不计自重的影响)。设杆长l及弹性模量E均已知。
解:设坐标为x时,横截面的直径为d,则
轴力是常量,即FN(x) =F,由公式(10-7)求得整个杆件的伸长为
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积分法计算杆件横截面位移
2. 圆轴的扭转变形与相对扭转角
对于承受外力偶作用的圆轴的位移,关注两横截面绕轴线转过的相对角度,变形特征量为,称