数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.doc

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题
,两个截面圆的半径为,.两截面间的距离为,求球的表面积.
分析:此类题目的求解是首先做出截面图,再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形,利用方程思想计算可得.
解:设垂直于截面的大圆面交两截面圆于,上述大圆的垂直于的直径交于,如图2.
设,则,解得.
.
说明:通过此类题目,明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题,进一步熟悉有关圆的基础知识,熟练使用方程思想,合理设元,列式,求解.
,引球的三条两两垂直的弦,求的值.
分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联.
解:以为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥补成一个长方体,则另外四个顶点必在球面上,故长方体是球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的直径.
=.
说明:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算.
.
分析:首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长,找出等量关系,再转化为其面积的大小关系.
解:设球的半径为,正方体的棱长为,它们的体积均为,
则由,,由得.
.
.
,即.
说明:突出相关的面积与体积公式的准确使用,注意比较大小时运算上的设计.
,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,求这两个球的表面积之比及体积之比.
分析:此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系,第二个关键是两个球的半径之间的关系,依靠体积分割的方法来解决的.
解:如图,正四面体的中心为,的中心为,则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离,第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离.
设,正四面体的一个面的面积为.
依题意得,
又
即.
所以..
说明:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即定有内切球的半径(为正四面体的高),且外接球的半径.
例5 .
分析:四棱锥的体积由它的底面积和高确定,只需找到底面、高与球半径的关系即可,解决这个问题的关键是如何选取截面,如图所示.
解:∵棱锥底面各边相等,
∴底面是菱形.
∵棱锥侧棱都相等,
∴侧棱在底面上射影都相等,即底面有外接圆.
∴底面是正方形,且顶点在底面上的射影是底面中心,此棱锥是正棱锥.
过该棱锥对角面作截面,设棱长为,则底面对角线,
故截面是等腰直角三角形.
又因为是球的大圆的内接三角形,所以,即.
∴高,体积.
说明:在作四棱锥的截面时,容易误认为截面是正三角形,如果作平等于底面一边的对称截面(过棱锥顶点,底面中心,且与底面一边平行),可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形,,解决有关几何体接切的问题,如何选取截面是个关键.
解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长(或高或某个截面内的元素)与球半径的关系,再进一步求解.
例6 在球面上有四个点、、、,如果、、两两互相垂直,.
分析:,因而求球的表面关键在于求出球的半径.
解:设过、、三点的球的截面半径为,
球心到该圆面的距离为,
则.
由题意知、、、四点不共面,因而是以这四个点为顶点的三棱锥(如图所示).的外接圆是球的截面圆.
由、、互相垂直知,在面上的射影是的垂心,又,
所以也是的外心,所以为等边三角形,
且边长为,是其中心,
从而也是截面圆的圆心.
据球的截面的性质,有垂直于⊙所在平面,
因此、、共线,三棱锥是高为的球内接正三棱锥,,,所以,可求得,∴.
说明:涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题,一般作其轴截面;涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题,一般过球心及多面体中特殊点或线作截面,把空间问题化为平面问题,进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系.
例7 已知棱长为3的正四面体,、是棱、上的点,且,.求四面体的内切球半径和外接球半径.
分析:可用何种法求内切球半径,把分成4个小体积(如图).
解:设四面体内切球半径为,球心,外接球半径,球心,连结、、、,则.
四面体各面的面积为
,,.
各边边长分别为,,
∴.
∵,
,
∴,
∴.
如图,
是直角三角形,其个心是斜边的中点.
设中心为,连结,过作平面的垂线,必在此垂线上,
连结、.
∵,,
∴,.
在直角梯形中,,,
,,
又∵,∴,
解得