《高等代数一》知识点.pdf

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第一章多项式
、常见数域
2.(系数在)数域P上的多项式的定义

、零多项式和零次多项式
(加减乘)、运算律、多项式环、次数定理
:gxfxfxgxhx(证明,不整除则用反证法)、因式
和倍式
:
(1)一些特殊的整除性(0,常数,自身)
(2)整除的反身性
(3)整除的传递性
(4)整除的组合性
xqxgxrx、综合除法
:余式为零

、fx,gx,0,g(x)g(x),0,00
(辗转相除法)P44:5
x,gx的一个组合d(x)u(x)f(x)v(x)g(x)——
P45:8

(证明)P45:12、14
(1)fx,gx11u(x)f(x)v(x)g(x)
(2)fx,gx1,fxgxhxfxhx
(3)f1xgx,f2xgx,f1x,f2x1,f1xf2xgx
(次数大于等于1)
、不可约等价于只有平凡因式

:
(1)px不可约,则cpx也不可约
(2)px不可约,fxPx,p(x)|f(x),orf(x),p(x)1
(3)px不可约,pxfxgxp(x)|f(x),orpxgx
.标准分解式r1r2rs
20f(x)cp1(x)p2(x)ps(x)
、微商的定义
:px是不可约多项式
(1)若px是fx的K重因式,则px是fx的K-1重因式
(2)px是fx的重因式p(x)|f(x),p(x)|f(x)(f(x),f(x)1)
(3)fx没有重因式f(x),f(x)1
(4)px是fx的K重因式p(x)为f(x),f(x)的K-1重因式
()r1r2rs为的重因式
5f(x),f(x)cp1(x)p2(x)ps(x)pi(x)f(x)ri1

(x)(xc)q(x)rrf(c)
(xc)f(x)f(c)0P45:19
:c是的f(x重)根k是的重因(式xc)f(x)k,但是有重
因式未必有重根
:16
:(f(x))n根的个数至多为n个
:
(f(x)),(g(x))n,f(ai)g(ai),i1,,n1f(x)g(x)

:复数域上的多项式必有一根,必有一个一次因式,复系数多项式
的不可约多项式只有一次多项式
:唯一地分解为一次因式的乘积
,重根按重数计算

:唯一地分解为一次和二次不可约因式的乘积

、4次的因式分解
、性质:
(1)任给一个有理系数多项式总可以表示成一个有理数与一个本原多项式的乘积(除了
相差一个正负号外,这种表示法是唯一的).
(2)Gauss引理:两个本原多项式的积仍是本原多项式
:若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低
的有理系数多项式,则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积
(结合综合除法验证)P46:27
(Eisenstein)判别法P46:28
第二章行列式
、三级行列式的计算(对角线法则)
、逆序、逆序数、排列的奇偶性、对换的定义
——P96:5、对换改变奇偶性
:8

(转置、换行(冒泡)、数乘、和、线性运算)
、代数余子式的定义及相关计算(A11A12A13)
(列)展开法则(=D,=0)
(降阶)(四阶、P98:13(1)(3)(4))
(n级字母型:按行列展开、以第一行为标准加减、各列加到第一
列、相邻行相加减、加一行一列)P99:17(1)(2)(3)、18(1)(5)
(转置换行)
(非齐次方程组有唯一解D0,齐次方程组有非零解
D=0)
第三章线性方程组
、解、同解的概念

、初等变换及应用,行阶梯形、行最简形矩阵

、表示(行向量与列向量)、相等
(零向量、负向量)
(加法和数乘)及运算性质

:对应的非齐次线性方程组有解、向量组线性表出P154:12
、等价的性质(反身性、对称性、传递性)
:有一个向量可以由其余向量线性表出
:存在不全为零的K使得等式成立——对应的齐次线性方程组
有非零解
:对应的齐次线性方程组只有零解(证明)(P155:6)
(无关)的判定(用矩阵的秩来判定)
(无关)的性质:
(1)单个向量、两个向量的相关性
(2)单位向量组线性无关
(3)含有零向量的向量组必线性相关
(4)整体与部分的相关性(整体无关则部分无关,部分相关则整体相关)
(5)线性无关的向量组扩维后还是线性无关的
()设与是两个向量组。如果)向量组可以
61,2,,r1,2,,s11,2,,r
经过线性表出;),那么向量组必线性相关。
1,2,,s2rs1,2,,r
(7)任意n+1个n维向量必线性相关.(特例)
()如果向量组可由向量组线性表出,且线性
81,2,,r1,2,,s1,2,,r
无关,那么rs(逆否)
(9)两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量.(逆否+向量组等价)
:一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果
这个部分组本身是线性无关的,并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话),
所得的部分向量组都线性相关。(不唯一)
:
(1)任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价
(2)一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.
(3)一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量
:向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的
秩

(1)一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同
(2)等价的向量组必有相同的秩
:11
:矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩;矩阵的列向量组的秩称为
矩阵的列秩;矩阵A的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩,记作R(A).
:|A|0R(A)n,|A|0R(A)n

:R(A)=r充要条件是矩阵A中有一个r级子式不为
零,同时所有r+1级子式全为零


:系数矩阵与增广矩阵有相同的秩
(三种)(参数型讨论;求解)P157:19
(两种)(特例方程个数少于未知量个数)
:和、数乘、线性组合
:解向量组、极大无关组(不唯一),基础解系
所含解向量的个数等于n-r
(特例简单方程)P157:20
:差、和

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37.