中考圆知识点经典总结.pdf

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要求理解记忆、熟练掌握、每个定理会证明、并能运用定理解
决圆中的问题
考点一、圆的相关概念
1、圆的定义
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成
的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。
集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂
线);
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长
的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都
相等的一条直线。
2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”
考点二、弦、弧等与圆有关的定义
(1)弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)
(2)直径
经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD)
直径等于半径的2倍。
(3)半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(4)弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)
考点三、垂径定理及其推论 
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其
它个结论,即:
3A
①AB是直径(过圆心)
②ABCD(垂直于弦) 
③CEDE(平分弦)O
④弧BC弧BD(平分劣弧)E
CD
⑤弧AC弧AD(平分优弧)
B
任意2个条件推出其他3个结论。
推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2CD
即:在⊙O中,∵AB∥CDO
 
∴弧AC弧BDAB
考点四、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
E
考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
F
1、圆心角O
顶点在圆心的角叫做圆心角。D
2、弦心距A
C
从圆心到弦的距离叫做弦心距。B
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量
相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
即:①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
考点六、圆周角定理及其推论
 
1、圆周角
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即:∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
∴AOB2ACB
3、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆DC
周角所对的弧是等弧;
BO
A
即:在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角
∴CD
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角; 圆周角是直角所对的
弧是半圆,所对的弦是直径。C
即:在⊙O中,∵AB是直径或∵C90
∴C90∴AB是直径
BA
O
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角
形是直角三角形。
即:在△ABC中,∵OCOAOBC
∴△ABC是直角三角形或 C90
BA
O
注意:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上
的中线等于斜边的一半的逆定理。
考点七、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r,点到圆心O的距离为d,则有:
1、点在圆内dr点C在圆内;Ad
r
2、点在圆上dr点B在圆上;O
B
3、点在圆外dr点A在圆外;d
C
考点八、过三点的圆
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)
圆内接四边形对角互补。
考点九、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系,具体如下:
(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫
做交点;
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
1、直线与圆相离dr无交点;
2、直线与圆相切dr有一个交点;
3、直线与圆相交dr有两个交点;
r
dd=rrd
考点十、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四 边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:在⊙O中,∵四边ABCD是内接四边形
D
∴CBAD180BD180C
DAEC
考点十一、切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;B
E
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可A
即:∵MNOA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
规律总结:切线判定的方法有三种:O
1)直接利用切线的概念:直线与圆有唯一公共点时,直线式圆的切
线;
2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。当已知条件中MAN
没有指出圆与直线的公共点时,常运用这种方法进行判定,辅助
线的作法是过圆心作已知直线的垂线段;
3)切线的判定定理:当已知条件明确指出 圆与直线有公共点时,常运用判定定理进行判定,
一般连接公共点与圆心,证明半径垂直于这条直线。
2、性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
 
考点十二、切线长定理B
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相
等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。O
P
即:、是的两条切线
∵PAPB 
∴PAPB;PO平分BPAA
考点十三、圆幂定理
1、相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
D
即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P,BO
∴PAPBPCPDP
A
C
推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两
条线段的比例中项。C
即:在⊙O中,∵直径ABCD,
B
OEA
D
∴CE2AEBE
2、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线
段长的比例中项。
即:在中,是切线,是割线
⊙O∵PAPBA
2
E
∴PAPCPBD
O
3、割线定理:从圆外一点引圆 的两条割线,这一点到每条P
割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。CB
即:在⊙O中,∵PB、PE是割线
∴PCPBPDPE
考点十四、两圆公共弦定理
圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图:OO垂直平分AB。
12A
O1O2
即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点
 
∴O1O2垂直平分ABB
考点十五、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式:
A
()公切线长:中,2222;B
1RtO1O2CABCO1O1O2CO2
C
O1
(2)外公切线长:CO2是半径之差;O2
内公切线长:CO2是半径之和
考点十六、三角形的内切圆和外接圆
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。
考点十七、圆和圆的位置关系
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。
2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么
两圆外离d>R+r
两圆外切d=R+r
两圆相交R-r<d<R+r(R≥r)
两圆内切d=R-r(R>r)
两圆内含d<R-r(R>r)
ddd
  
RrRrRr
周1周2周3
ddr
r
RR
周4周5
4、两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交
的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
考点十八、圆内正多边形的计算
1、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 
2、正多边形和圆的关系
 
 只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多
边形的外接圆。
3、正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在RtBOD中进行:OD:BD:OB1:3:2;
C
BC
O
OO
A
BD
AEDB
A
4、正四边形
同理,四边形的有关计算在RtOAE中进行,OE:AE:OA1:1:2:
5、正六边形
同理,六边形的有关计算在RtOAB中进行,AB:OB:OA1:3:2.
考点十九、与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
考点二十、正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中
心。 
2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形。
考点二十一、弧长和扇形面积
1、弧长公式
nr
n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l
180A
2、扇形面积公式
n1
SR 2lR
扇3602OSl
 
其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积B
1
Sl2rrl
2B1
其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径。
圆锥侧面展开图O
()2
1S表底S侧S=RrrR
12
(2)圆锥的体积:VrhC
3ArB
4、圆柱:
()圆柱侧面展开图D
1AD1
2
S表底S侧2S=2rh2r
周周周
周周周周周
()圆柱的体积:2BC1
2VrhC
考点二十二、内切圆及有关计算。
(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。
abc
(2)△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r=。
2
1
(3)S△ABC=r(abc),其中a,b,c是边长,r是内切圆的半径。
2
(4)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。
如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角,∠ABC=∠D。C
AD
O
B
考点二十三、反证法
先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得
到原命题成立,这种证明方法叫做反证法。