二次函数知识点.pdf

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一、二次函数的定义
yax2bxca,b,c
,形如(为常数,a0)的函数称为x的二次函数,其
ya,b,c
中x为自变量,为因变量,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,
的定义域是全体实数.
2
axbxc的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的性质
2
ax(a)0的性质:
2
(1)抛物线yax的顶点是坐标原点(0,0),对称轴是x0(y轴).
2
(2)函数yax的图像与a的符号关系.
①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点;
开口方顶点坐对称
a的符号性质
向标轴
x0时,y随x的增大而增大;x0时,
a0向上0,0y轴y随x的增大而减小;x0时,y有最小
值0.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,
a0向下0,0y轴y随x的增大而增大;x0时,y有最大
值0.
ax2c的性质:
开口方顶点坐对称
a的符号性质
向标轴
x0时,y随x的增大而增大;x0时,
a0向上0,cy轴y随x的增大而减小;x0时,y有最小
值c.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,
a0向下0,cy轴y随x的增大而增大;x0时,y有最大
值c.
2
axbxc(a)0的相关性质
22
若二次函数解析式为yaxbxc(或ya(xh)k)(a0),则:
a0向上b
(1)开口方向:,(2)对称轴:x(或xh),
a0向下2a
b4acb2
(3)顶点坐标:(,)(或(h,k))
2a4a
(4)最值:
4acb2
a0时有最小值(或k)(如图1);
4a
4acb2
a0时有最大值(或k)(如图2);
4a
【1【2
2
(5)单调性:二次函数yaxbxc(a0)的变化情况(增减性)
b
①如图1所示,当a0时,对称轴左侧x,y随着x的增大而减小,在对称
2a
b
轴的右侧x,y随x的增大而增大;
2a
b
②如图2所示,当a0时,对称轴左侧x,y随着x的增大而增大,在对称
2a
b
轴的右侧x,y随x的增大而减小;
2a
(6)与坐标轴的交点:①与y轴的交点:(0,C);②与x轴的交点:使方程
22
axbxc0(或a(xh)k0)成立的x值.
2
axbxc图象的画法
22
五点绘图法:利用配方法将二次函数yaxbxc化为顶点式ya(xh)k,
确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.
一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称
的点2h,c、与x轴的交点x1,0,x2,0(若与x轴没有交点,则取两组关于
对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交
点.
三、二次函数的图像与系数关系
:
当a0时抛物线开口向上;当a0时抛物线开口向下
a
决定抛物线的开口大小:
aa
越大,抛物线开口越小;越小,抛物线开口越大.
a
注:几条抛物线的解析式中,若相等,则其形状相同,即若a相等,则开口及形状
相同,若a互为相反数,则形状相同、开口相反.
b
x
.(对称轴为:2a)
y
当b0时,抛物线的对称轴为轴;
a,by
当同号时,对称轴在轴的左侧;
a,by
当异号时,对称轴在轴的右侧.
0,c
.(抛物线与y轴的交点为)
y
当c0时,抛物线与轴的交点为原点;
y
当c0时,交点在轴的正半轴;
y
当c0时,交点在轴的负半轴.
板块二 二次函数图像特征
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
2
yaxx0(y轴)0,0
2
yaxk当a0时,开口x0(y轴)0,k
yaxh2向上xhh,0
yaxh2k当a0时,开口xhh,k
向下bb4acb2
yax2bxcx,
2a2a4a
二、二次函数的三种表达方式
2
(1)一般式:yaxbxca0
2
(2)顶点式:yaxhka0
(3)双根式(交点式):yaxx1xx2a0
:
⑴一次函数yaxb(a0)图像上的任意点可设为x1,ax1b.其中x10时,该点
为直线与y轴交点.
22
⑵二次函数yaxbxc(a0)图像上的任意一点可设为x1,ax1bx1c.
b
x10时,该点为抛物线与y轴交点,当x1时,该点为抛物线顶点.
2a
⑶点x1,y1关于x0,x0的对称点为2x0x1,2y0y1.
:
①已知任意3点坐标,可用一般式求解二次函数解析式;
②已知顶点坐标或对称轴时,可用顶点式求解二次函数解析式;
③已知抛物线与x的两个交点坐标,可用交点式求解二次函数解析式.
④已知抛物线经过两点,且这两点的纵坐标相等时,可用对称点式求解函数解析式
(交点式可视为对称点式的特例)
注:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可
2
以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b4ac0时,抛物线的解析式才
.
一、二次函数与一次函数的联系
2
一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像G的交点,
ykxn
由方程组2的解的数目来确定:
yaxbxc
①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;
②方程组只有一组解时l与G只有一个交点;
③方程组无解时l与G没有交点.
二、二次函数与方程、不等式的联系
:
:
2
(1)y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0,c).
2
(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yaxbxc有且只有一个交点(h,
ah2bhc).
2
(3)抛物线与x轴的交点:二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标
2
x1、x2,是对应一元二次方程axbxc
情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点0抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;
③没有交点0抛物线与x轴相离.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、,两交点的纵
2
坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是axbxck的两个实数根.
2
(5)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线yaxbxc与x轴两交点为
2
Ax1,0,,Bx20,由于x1、x2是方程axbxc0的两个根,故
bc
xx,xx
12a12a
22
22b4cb4ac
ABx1x2x1x2x1x24x1x2
aaaa

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
2
⑶根据图象的位置判断二次函数yaxbxc中a,b,c的符号,或由二次函数
中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,
或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
2
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式axbxc(a0)本身就是所含
字母x的二次函数;下面以a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方
程之间的内在联系:
0
抛物线与x轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根
两个交点可零、可负
0
抛物线与x轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根
有一个交点负
0
抛物线与x轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根.
 交点正
 
(选讲)
所谓一元二次方程,实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点问题,
因此,二次方程的实根分布问题,即二次方程的实根在什么区间内的问题,借助于
二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的.
22
设fxaxbcca0的二实根为x1,x2,x1x2,b4ac,且
,是预先给定的两个实数.
⑴当两根都在区间,内,方程系数所满足的充要条件:
∵x1x2,对应的二次函数fx的图象有下列两种情形:
a>0
yy
xx
12
x
OxO2x1x
b
当a0时的充要条件是:0,,f0,f0.
2a
b
当a0时的充要条件是:0,,f0,f0.
2a
两种情形合并后的充要条件是:
b
0,
2a……①

f0,f0
⑵当两根中有且仅有一根在区间,内,方程系数所满足的充要条件;
∵x1或x2,对应的函数fx的图象有下列四种情形:
yy

x1Ox1x
Ox
yy
  

Oxx
x11
Ox
从四种情形得充要条件是:
ff0……②
⑶当两根都不在区间,内方程系数所满足的充要条件:
当两根分别在区间,的两旁时;
∵x1x2对应的函数fx的图象有下列两种情形:
y
y

  Ox1xx
Ox1x2x2
当a0时的充要条件是:f0,f0.
当a0时充要条件是:f0,f0.
两种情形合并后的充要条件是:
f()0,f()0……③
当两根分别在区间[,]之外的同侧时:
∵x1x2或x1x2,对应函数fx的图象有下列四种情形:
yy

Ox2
x1Ox2x
x1x
yy

x1Ox2
x
x1Ox2x
 
当x1x2时的充要条件是:
b
0,,f0……④
2a
当x1x2时的充要条件是:
b
0,,f0……⑤
2a
4区间根定理
如果在区间a,b上有fafb0,则至少存在一个xa,b,使得fx0.
此定理即为区间根定理,又称作勘根定理,它在判断根的位置的时候会发挥巨大
的威力.
f(a)
 
b
a
f(b)
二次函数与三角形
在直角坐标系中,已知三角形三个顶点的坐标,如果三角形的三条边中有一条边
与坐标轴平行,
 
  坐标轴都不平行,则通常有以下方法:
CDCFC
DD
AAA
E
BEBB
DFE
C
D
h
B
A45
,过三角形的某个顶点作与x轴或y轴的平行线,将原三角形分割成两个满足一
条边与坐标轴平行的三角形,分别求出面积后相加.
11
SSSADyySSCExx
ABCACDADB2CBACECEB2AB
其中D,E两点坐标可以通过BC或AB的直线方程以及A或C点坐标得到.
,首先计算三角形的外接矩形的面积,然后再减去矩形内其他各块面积.
SABCSDEBFSDACSAEBSCBF.
所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得.
,通过三个梯形的组合,.

111
SSSSxxyyxxyyxxyy
ABCADEBCFEBADFC2ABAB2BCBc2CACA
,作三角形的高,,如
果三角形的一条边与xy0平行,则可以快速求解.
1
SABChBC.
2
二次函数图象的平移
:
2
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,k;
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
 
【【(k>0)【【【【(k<0)【【【|k|【【【
y=ax2y=ax2+k
【【(h>0)【【【(h<0)【
【【(h>0)【【【(h<0)【
【【(h>0)【【【(h<0)【【【|k|【【【
【【|k|【【【【【|k|【【【
【【(k>0)【【【(k<0)【
【【|k|【【【
y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
【【(k>0)【【【(k<0)【【【|k|【【【

在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

yax2bxc关于x轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxh2k关于x轴对称后,得到的解析式是yaxh2k;

yax2bxc关于y轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxh2k关于y轴对称后,得到的解析式是yaxh2k;

yax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
22
yaxhk关于原点对称后,得到的解析式是yaxhk;

b2
yax2bxc关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
2a
yaxh2k关于顶点对称后,得到的解析式是yaxh2k.
m,n对称
22
yaxhk关于点m,n对称后,得到的解析式是yaxh2m2nk