二次函数知识点汇编.pdf

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【知识要点】
:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.
ax2bxc用配方法可化成:yaxh2k的形式,其中
b4acb2
h,k.
2a4a
:开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向:当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作x,y轴记作直线x0.
,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口
方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
、对称轴的方法
2
b4acb2b4acb2
(1)公式法:yax2bxcax,∴顶点是(,),
2a4a2a4a
b
对称轴是直线x.
2a
(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式,得到
顶点为(h,k),对称轴是直线xh.
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连
线的垂直平分线是抛物线的对称轴,,再
用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
ax2bxc中,a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样.
(2)ax2bxc的对称轴是直线
bb
x,故:①b0时,对称轴为y轴;②0(即a、b同号)时,对称轴在
2aa
b
y轴左侧;③0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
a
(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.
当x0时,yc,∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):
①c0,抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负半
轴.
b
以上三点中,当结论和条件互换时,,则0.
a

(1)一般式:yax2bx、y的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:yaxh2,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:yaxx1xx2.

(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c).
(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,
ah2bhc).
(3)抛物线与x轴的交点
2
二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次
方程ax2bxc
的判别式判定:
①有两个交点0抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;
③没有交点0抛物线与x轴相离.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、,两交点的纵坐标相等,
设纵坐标为k,则横坐标是ax2bxck的两个实数根.
(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的
ykxn
交点,由方程组的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时l与
yax2bxc
G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点;③方程组无解时l与
G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线yax2bxc与x轴两交点为
2
Ax1,0,Bx2,0,由于x1、x2是方程axbxc0的两个根,故
bc
xx,xx
12a12a
22
22b4cb4ac
ABx1x2x1x2x1x24x1x2
aaaa
【经典练习】
=-x2+6x-5,当x时,y0,且y随x的增大而减小。
x22mx(m2)的顶点坐标在第三象限,则m的值为()
1或m0或m1C.1m1.
=x2-2x+3的对称轴是直线()
==-=-=1
=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是()
.--5
=x2-x的顶点坐标是()
11111
A.(1,1)B.(,1)C.(,)D.(,)
22424
ax2bxc的图象,如图1-2-40所
示,根据图象可得a、b、c与0的大小关系是()
>0,b<0,c<>0,b>0,c>0
<0,b<0,c<<0,b>0,c<0
,函数h=-(t的单位s;h
中的单位:m)可以描述他跳跃时
,则他起跳后到重心最高时所用的时间是()

=-(x—2)2+l,则抛物线的顶点坐标是()
A.(-2,1)B.(2,l)C.(2,-1)D.(1,2)
=x2-x与y=-x2+k的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是()


-x2+k=0没有实数根
=-x2+k的最大值为1
=x2+2x-3与x轴的交点的个数有()

=(x—l)2+2的对称轴是()
=-===2
ax2bxc的图象如图所示,则在“①a<0,②b
>0,③c<0,④b2-4ac>0”中,正确的判断是()
A、①②③④B、④C、①②③D、①④
ax2bxc(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:
①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,
()

,抛物线的顶点P的坐标是(1,-3),则此抛物线对应的二次函
数有()
-3
-
ax2bxc的图象时先列一个表,当表中对自
变量x的值以相等间隔的值增加时,函数y所对应的值依次为:
20,56,110,182,274,380,506,,这个不正确的值是(
)

=x2-4x+6化为y=(x—h)2+k的形式:y=___________
=x2-4x+5化成y=(x—h)2+k的形式:y=___________
=x2-4x+c的图象与x轴没有交点,其中c为整数,则c=__
_________________(只要求写一个).
=(x-1)2+3的顶点坐标是____________.
=x2-2x-3与x轴两交点之间的距离为_________.
=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,
(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标,并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。
(2)若点(x0,y0)在抛物线上,且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。
,试销中发现每天的销售量y(件)与每件的销售价
x(元)满足一次函数y=162-3x;
(1)写出商场每天的销售利润w(元)与每件的销售价x(元)的函数关系式;
(2)如果商场要想获得最大利润,每件商品的销售价定为多少为最合适?最大销售利润为
多少?
,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过
(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间
t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
根据图像提供的信息,解答下列问题:
(1)求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函s(万元)
数关系式;4
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;3
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?2
1
O123456t(月)
-1
-2
-3
,有一座抛物线型拱桥,在正常水位时水面AB
的宽是20米,如果水位上升3米时,水面CD的宽为10米,
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;
(2)现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发,要经过此桥开往乙地,已知甲地到此桥
280千米,(桥长忽略不计)货车以每小时40千米的速度开往乙地,当行驶到1小时时,忽
然接到紧急通知,前方连降大雨,,(货车接到通知
时水位在CD处),当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行;试问:汽车按原来速度行驶,
能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过多少千
米?
=-2x+b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为
y=x2-(b+10)x+c.
⑴若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上,试确定这条抛物线的解析式;
⑵若过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线
y=-2x+b的解析式.
,等腰梯形ABCD的边BC在x轴上,点A在y轴的正方向上,A(0,6),D(4,6),
且AB=210.
y
(1)求点B的坐标;
D
(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;A
 
(3)在(2)中所求的抛物线上是否存在
1BC
Ox
一点P,使得S△PBD=2S梯形ABCD。若存在,请
求出该点坐标,若不存在,请说明理由.
答案:
1.>.(1)(1,4)(2)–5≤y0≤4
2
22.(1)W=–3x+252x–4860(2)W最大=432(元)
1
23.(1)S=2t2–2t(t>0)(2)当S=30时,t=10(3)当T=8时,S=16
1
24.(1)y=–25x2
(2)水位约4小时上涨到0,
25.(1)y=x2–4x–6或y=x2–10
2
(2)y=–2x–2(提示,Rt△ABC中,OB=OA·OC
1
26(1)B(–2,0)(2)y=–2x2+2x+6
(3)由抛物线的对称性可知抛物线必过点C,因此,P点必定在直线BD下方,
21212121
P1(1+,–3)P2(1–,––3)