最优化 第7章 多目标及离散变量优化方法.ppt

最优化_第7章 多目标及离散变量优化方法第七章多目标及离散变量优化方法
多目标优化问题


0
f
x
§ 多目标优化问题
a
b
f1
f2
在[a , b]区间内有两个目标函数:

对于f1(X) :
当x=a, f1(X)取得最差值 f 1max
当x=b, f1(X)取得最优值 f 1min
对于f2(X):
当x=a, f2(X)取得最优值 f 2max
当x=b, f2(X)取得最差值 f 2min
随着设计变量X的值不断增大,目标函数 f1(X)的值越来越好,目标函数f2(X)的值越来越差
x1
x2
f 1max
f 2max
f 2min
f 1min
一. 多目标问题的数学模型:
设 X =[x1, x2 , …,xn]T
min. f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
. gu(X) ≤ 0 u = 1,2,…,m
hv(X) = 0 v = 1,2,…, p
二. 最优解与选好解、劣解与非劣解:
对于f1(x),1最好,其次为3,2,4,5,6;
对于f2(x),2最好,其次为3,1,5,4,6。
综合考虑,1,2,3为非劣解,4,5,6为劣解。
§ 多目标优化问题
0
f2
f1
● 1
● 3
● 2
● 4
● 6
● 5
使所有目标都能达到最优的解通常是不存在的或者很难找到的,设计人员所能做到的就是在 Pareto解集中挑选合适的解作为最终解,通过牺牲某个或某些目标的性能来改善其它目标,在多个目标函数间进行折衷
E
A
D
C
B
f1
f2
最优解:使各个分目标函数同时达到最优值的解。
劣解:每个分目标函数值都比另一个解为劣,即为劣解。
选好解:非劣解中,满足工程实用目的的最好解。
多目标函数问题的优化设计过程:
1、先求非劣解;
2、从非劣解中选出选好解。
常用的求选好解的方法:
1、主要目标法
2、统一目标函数法:线性加权因子法、极大极小…
3、功效系数法
4、分层序列法

思想:抓住主要目标,兼顾其他要求。(选择一个目标作
为主要目标,将其他目标转化成约束条件)
§ 多目标优化方法
原模型: min f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
. gu(X) ≤ 0 u = 1,2,…,m
hv(X) = 0 v = 1,2,…, p
转变后模型: min fk(X) X∈Rn
. fi(X) ≤ fi0 i = 1,2,,…,k-1,k+1,…q
gu(X) ≤ 0 u = 1,2,…,m
hv(X) = 0 v = 1,2,…, p
X1*
X2*
f1(X)的等值线
f2(X)的等值线
x1
x2
0
g1(X)=0
g2(X)=0
g3(X)=0
g4(X)=0
f20
min f1(X)
. f2(X) ≤ f20
gu(X) ≤ 0 u = 4
X*

统一目标函数法的实质就是将原各分目标函数f1(X),f2(X), ……,fn(X)通过一定的方法,统一到一个新构成的总的统一目标函数F(X)={f1(X), f2(X), …… fn(X)}中,把原来的多目标优化问题转化成具有统一目标函数的单目标优化问题,然后再用前述的单目标函数优化方法求解。
(1)线性加权和法(线性组合法)
(2)极大极小法
(3)理想点法与平方和加权法
(4)分目标乘除法
(5)功效系数法
1) 线性加权组合法
线性加权组合法又称加权因子法,即在将多目标函数组合成总的统一目标函数的过程中,引入加权因子wi,以考虑各个分目标函数在相对重要程度方面的差异。
式中:
未考虑目标函数间量级和量纲上的差异
评价函数:
体现目标函数的重要程度
f1取值范围是[10, 30], f2的取值范围是[1000, 3000],设计人员认为目标函数 f1非常重要,则线性加权后的评价函数为:
设计人员原本的意图是优化结束后,f1的取值尽量靠近10,f2的取值可以稍微劣一些,例如可在2000左右。
第k次迭代时, f1的取值为15, f2的取值为1800,则

第k+1次迭代时,为了让整体评价函数F(X)取值更优,无论采用哪种优化方法,优化程序会拼命的降低 f2的取值,升高 f1的取值
这是由于没有考虑目标函数量纲上的差异造成的