定积分练习题.docx

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b
(x)>0,则当a<b时,定积分
af(x)dx的符号()


<a<b时是正的,当
a<b<0时是负的

b
b
解析:
由af(x)dx的几何意义及
f(x)>0,可知
af(x)dx表示x=a,x=b,y=0与y=f(x)围
b
成的曲边梯形的面积.∴ af(x)dx>0.
答案:A
若a
2
2
x3dx,c
2
2.
0
x2dx,b
sinxdx,则a,b,c的大小关系是(
)
0
0
<c<<b<c
<b<<a<b
解析:a=
1
3
2
8
1
4
2
2
3x
0
4x
0
0
=1-cos2,∴c<a<b.
|=3,b=
|=
4,c=-cosx|
答案:D
3.
求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积,其中正确的是
(
)
=1(x2-x)dx
=1(x-x2)dx
0
0
=1(y2-y)dy
=
1(y-y)dy
0
0
[答案]
B
[解析]
两函数图象的交点坐标是
(0,0),(1,1),故积分上限是
1,下限是
0,由于在[0,1]上,
x≥x2,故函数y=x2与y=x所围成图形的面积
S=
1(x-x2)dx.
0
1
4.
(sinx
1)dx
的值为(
)
1



2cos1
D.
2
2cos1
【答案】A
【解析】
1
(sinx
1)dx
cosxx
1
(
cos1
1)
cos(1)
1
2
1
1
5.
由曲线y
x2
2x与直线y
x所围成的封闭图形的面积为
(
)
A.
1
B.
1
5
2
6
3
C.
D.
6
3
【答案】 A
【解析】在直角坐标系内,画出曲线和直线围成的封闭图形,如图所示,

y
由x2
2xx,解得两个交点坐标为(-1,0)和(0,0),
利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为
:
yx2
2x
y
x
1
x
O
S
0
(x(x2
2x)dx(
1
x3
1
x2)|0
1
(
1
1
)
1
.
1
3
2
3
2
6
二、填空题
6.
已知f(x)=
x
0(2t-4)dt,则当x∈[-1,3]时,f(x)的最小值为________.
解析:
f(x)=
x
x
(2t-4)dt=(t2-4t)|0=x2-4x=(x-2)2-4(-1≤x≤3),
0
∴当x=2时,f(x)min=-4.
答案:
-4
7.
一物体以v(t)=t2-3t+8(m/s)的速度运动,在前
30s内的平均速度为________.
解析:由定积分的物理意义有:
s=
30
(t
2
3t
1
t3
3
0
8)dt=(
-t2+8t)|030
3
2
7890
7890(m).∴v=t=30=263(m/s).
答案:263m/s
三、解答题
:
2
1
0
x
(1)
1
x-x2+xdx;(2)
(cosx+e
)dx;
(3)
9
x(1+x)dx;(4)
π
2x
4
cos2dx.
0
(1)
2
2
1
2
2
2
21x22
x32
2
3
7
+ln2
=ln2-
解析:
1
x-x+
x
dx=1xdx-
1xdx+
1xdx=2|1
-3|1
+lnx|1=
2
-3
5
6.
(2)
0
(cosx+ex)dx=
0
cosxdx
(3)
1
+x)dx=
9
x(1+x)dx=9(x
4
4
2

exdx=sinx|0π+ex|0=1-1.
-πeπ
23
1
2
3
2
3
1
1
1
3x2+2x2
49
=3×92-
3×42+
2×92-2×42=456.
π
2x
1+cosx
1
π
1
π
π
π
0
+
0=
2.
(4)cos2dx=
2
dx=2x|
2sinx|
0
0

f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图:
直线y=0
在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域
(阴影)面积为27,
4
求f(x).
解:由f(0)=0得c=0,
f′(x)=3x2+2ax+b.
由f′(0)=0得b=0,
∴f(x)=x3+ax2=x2(x+a),
由∫0-a[-f(x)]dx=
27
得a=-3.
4
∴f(x)=x3-3x2.
(x)为二次函数,且
f(-1)=2,f′(0)=0,
1
0f(x)dx=-2.
求f(x)的解析式;
求f(x)在[-1,1]:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.
a-b+c=2
c=2-a
由f(-1)=2,f′(0)=0,得
,即
.
b=0
b=0
∴f(x)=ax2+(2-a).
1
f(x)dx=
1
[ax2+(2-a)]dx
又
0
0
1ax3+2-ax|01=2-2a=-2,
33
a=6,∴c=-4.
从而f(x)=6x2-4.
∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1],
所以当x=0时,f(x)min=-4;
当x=±1时,f(x)max=2.
B卷:5+2+2
一、选择题
(x)为偶函数且
6
f(x)dx
1
6
f(x)dx等于(
)
0
,则
2
6



D.-1
6
0
1
6
f(x)dx
2
6
1.
解析:∵f(x)为偶函数,∴
f(x)dx
f(x)dx
,∴
f(x)dx
0
6
2
6
0
答案:C
2.(改编题)已知f(x)
2
x,则
2
f(x)dx
()
1
A.
3


【答案】C
【解析】
2
x,x
02
0
2
x
2
)|0
x
2
)|02
f(x)2
f(x)dx
x)dx
x)dx
(2x
1(2x
x
,
1
(2
(2
2
x,x
0
1
0
2
2
3
2
.
2
=x2与y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为
9,则k等于()
2




答案:C
y=x2
解析:由
消去y得x2-kx=0,
y=kx
所以x=0或x=k,则阴影部分的面积为
k
1
1
k
9
∫0(kx-x2)dx=(kx2
-x3)|0=.
2
3
2
即12k3-13k3=92,解得k=3.

10
0≤x≤2
F相同的方向,从x
F(x)=
(单位:N)的作用下沿与力
3x+4
x>2
=0处运动到
x=4(单位:m)处,则力F(x)作的功为(




4
2
4
解析:W=
0F(x)dx=
010dx+
2
2(3x+4)dx=10x|0+
答案:B

)
3x2+4x|4=46.
2
2

0,其导函数f
x的图象如下图,则fx
的图象与x轴所围成的
y
2
1O
x
封闭图形的面积为



3
3
3
【答案】B
【解析】由导函数
fx的图像可知,函数
f
x为二次函数,且对称轴为
x
1,开口方向
向上,设函数f(x)
ax2
bx
c(a
0),Qf(0)
0,
c

(x)
2ax
b,因过点
(-1,0
)与(0,2
),则有2a
(1)
b
0,2a
0b
2,
a
1,b
2.
f(x)
x2
2x,
则 fx 的 图 象 与 x 轴 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为
0
2
1
3
2
0
1
3
2
4
S
(x
2x)dx(
(-2)
(2)
x
x)|-2
=
.
2
3
3
3
二、填空题
6.(改编题)设
f(x)
lgx,x
0
,若f(f(1))
1,则a为
。
x
a
3t2dt,x
0
0
【答案】1
【解析】Q
f(1)
lg1
0,
f(f(1))
f(0)0
a
a3
1,a1.
3t2dtt3|0a
0
7.
已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与
x轴在原点处相切,且x
轴与函数图象所围成区域
(图中阴影部分)的面积为
1,则a的值为________.
12
[答案] -1
[解析] f′(x)=-3x2+2ax+b,∵f′(0)=0,∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,
得x=0或x=a(a<0).
S
=-
0
3
2
1
4
1
,∴a=-1.
阴影
(-x+ax
)dx=12a=
12
a

8.(改编题)画出曲线
y
2
x1及x
4所围成的封闭图形,并且其面积.
与直线y
x
y
解析:如图所示,封闭图形的区域为
ABC.
由y
2
与y
x1
联立可得C(2,1),
A
x
C
B
由y
2
与x=4联立可得B(4,
1
x
),
O
24x
2
由y
x
1与x=4联立可得A(4,3).
所求封闭图形ABC的面积:
S
4
1)dx
4
2
dx
1
x
2
4
4
(x
x
(
x)|2
2lnx|2
2
2
2
8
4
2
2
2ln4
2ln2
4
2ln2.
=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及
1
x轴所围成的面积为
12.
(1)求切点A的坐标.
求过切点A的切线方程.
解析:设切点A(x0,y0),由y′=2x,过点A的切线方程为
y-y0=2x0(x-x0),
即y=2x0x-x02.
x
x
0
0
令y=0,得x=
(2,0).
设由曲线和过
A点的切线及x轴所围成图形面积为
S,
x0
2dx
1
x3|0x0
1
x03,
S曲边△AOB=
x
0
3
3
1
1
x0
2
13
S△ABC=2|BC||AB·
|=2(x0-2)·x0=4x0.
1
1
1
∴S=3x03-
4x03=12.∴x0=1,
从而切点A(1,1),切线方程为 y=2x-1.
C卷:2+2+1
一、选择题
,在一个边长为

1的正方形

AOBC

内,曲线

y

x2和
曲线

y

x围成一个叶形图(阴影部分)

,向正方形

AOBC

内随
机投一点(该点落在正方形 AOBC内任何一点是等可能的) ,则所
投的点落在叶形图内部的概率是
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
2
6
4
3
【答案】D
1
2
3
13
1
S阴
1
【解析】
S
2
x
2
1
(xx
)dx(
x
)|0
,S
OBCA=1P
.
阴
0
正方形
,
3
3
3
S正方形OBCA
3

f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过
x
的最大整数,如[-]=-2,[]=1,[1]
=(x)=-x,f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为
m,f(x)与g(x)的图象交点的个数记
3
为n,则
ng(x)dx的值是(
)
m
A.-
5
B.-
4
2
3
C.-
5
D.-
7
4
6
[答案]
A
[解析]
由题意可得,当0<x<1时,[x]=0,f(x)=x,当1≤x<2时,[x]=1,f(x)=x-1,所
以当x∈(0,2)时,函数f(x)有一个零点,由函数
f(x)与g(x)的图象可知两个函数有
4个交点,
x
x2
5
所以m=1,n=4,则
ng(x)dx=
4-3dx=-6
1
4=-2.
m
1

2
4
x2
x)dx
_______________.
3.
(
0
【答案】
2
2
x2)dx等于圆x2
y2
4在第一象限的面积
【解析】(4
,则
0
2
2
2
1
2
4
x2
x)dx
(4
x2)dx
xdx
x2
2.
(
0
0
0
2
0
,设点P从原点沿曲线
y=x2向点A(2,4)移动,记直线OP、曲线y=x2及直线x=2
所围成的面积分别记为
S1
2
1
2
,则点P的坐标为________.
,S,若
S=S
解析:设直线OP的方程为y=kx,P点的坐标为(x,y),
x
2
2
2
1
2-
1
3
x
1
3-
1
2
2
0
x
则
0(kx-x)dx=
x(x
-kx)dx,即
2kx
3x
2kx
1
1
|=3x
|,
解得
1
2
1
3
8
3
kx
2
,
kx
-x
=
3
-2k-x-
2
2
3
3
解得k=4,即直线OP的方程为y=4
x,
3
4,16
3
所以点P的坐标为3
9.
答案:
4,
16
3
9

,在区间[0,1]上给定曲线y=x2,试在此区间内确定
t的值,使图中阴影部分的面
积S1+S2最小.
[解析]
由题意得
2
t
2
2
3
,S=
1
22
-t)=
23
2
1
S=t·t
-
xdx=3t
xdx-t(1
3t
-t
+3,
1
2
0
t
1
2
43
2
1
所以S=S
+S=3t-t+3(0≤t≤1).
1
又S′(t)=4t2-2t=4tt-2,
1
令S′(t)=0,得t=2或t=0.
1 1
因为当0<t<2时,S′(t)<0;当2<t≤1时,S′(t)>0.
1
1
所以S(t)在区间
0,
2
上单调递减,在区间
2,1上单调递增.
1
1
所以,当t=
2时,Smin=4.