2023·新课标全国卷2(理科).doc

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[2023·新课标全国卷Ⅱ]设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},那么M∩N=( )
A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}
[解析]集合N=[1,2],故M∩N={1,2}.
[2023·新课标全面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,那么z1z2=( )
A.-.-4+iD.-4-i
[解析]由题知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,那么a·b=( )

[解析]由得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得4a·b=4,所以a·b=1.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,那么AC=( )

[解析]根据三角形面积公式,得BA·BC·sinB=,即×1××sinB=,得sinB=,其中C<,那么B=,所以AC==1=AB,易知A为直角,此时△ABC为直角三角形,所以B为钝角,即B=,所以AC==.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]某地区空气质量监测资料说明,,,某天的空气质量为优良,那么随后一天的空气质量为优良的概率是( )

[解析]设“第一天空气质量为优良〞为事件A,“第二天空气质量为优良〞为事件B,那么P(A)=,P(AB)=,由题知要求的是在事件A发生的条件下事件B发生的概率,根据条件概率公式得P(B|A)===.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]如图1­1,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,那么切削掉局部的体积与原来毛坯体积的比值为( )
图1­1
.
[解析]该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积为π×32×2+π×22×4=34π(cm3),原毛坯的体积为π×32×6=54π(cm3),切削掉局部的体积为54π-34π=20π(cm3),故所求的比值为=.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]执行如图1­2所示的程序框图,如果输入的x,t均为2,那么输出的S=( )
图1­2

[解析]逐次计算,可得M=2,S=5,k=2;M=2,S=7,k=3,此时输出S=7.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,那么a=( )

[解析]y′=a-,根据得,当x=0时,y′=2,代入解得a=3.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]设x,y满足约束条件那么z=2x-y的最大值为( )

[解析]不等式组表示的平面区域如图中的阴影局部所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(5,2)处取得最大值,故目标函数的最大值为2×5-2=8.
、H8[2023·新课标全国卷Ⅱ]设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积为( )
.
[解析]抛物线的焦点为F,那么过点F且倾斜角为30°的直线方程为y=,即x=y+,代入抛物线方程得y2-3y-=(x1,y1),B(x2,y2),那么y1+y2=3,y1y2=-,那么S△OAB=|OF||y1-y2|=××=.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABC­A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,那么BM与AN所成角的余弦值为( )
.
[解析]如图,,N分别是A1B1,A1C1的中点,故MN∥B1C1且MN=B1C1,故MN綊BE,所以四边形MNEB为平行四边形,所以EN綊BM,所以直线AN,NE所成的角即为直线BM,=1,那么B1M=B1A1=,所以MB===NE,AN=AE=,
在△ANE中,根据余弦定理得cos∠ANE==.
、C4[2023·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)=sin,假设存在f(x)的极值点x0满足x+[f(x0)]2<m2,那么m的取值范围是( )
A.(-∞,-6)∪(6,+∞)
B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
[解析]函数f(x)的极值点满足=+kπ,即x=m,k∈Z,且极值为±,问题等价于存在k0使之满足不等式m2+3<,所以只要m2+3<m2成立即可,即m2>4,解得m>2或m<-2,故m的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
[2023·新课标全国卷Ⅱ](x+a)10的展开式中,x7的系数为15,那么a=________.(用数字填写答案)
13.[解析]展开式中x7的系数为Ca3=15,
即a3=,解得a=.
、C5[2023·新课标全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________.
[解析]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sinx,故其最大值为1.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,假设f(x-1)>0,那么x的取值范围是________.
15.(-1,3) [解析]根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),假设f(x-1)>0,那么-2<x-1<2,解得-1<x<3.
、C9[2023·新课标全国卷Ⅱ]设点M(x0,1),假设在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,那么x0的取值范围是________.
16.[-1,1] [解析]在△OMN中,OM=≥1=ON,所以设∠ONM=α,那么45°≤α<135°.根据正弦定理得=,所以=sinα∈[1,],所以0≤x≤1,即-1≤x0≤1,故符合条件的x0的取值范围为[-1,1].
、D3、D5[2023·新课标全国卷Ⅱ]数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明++…+<.
:(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.
又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列,所以an+=,因此数列{an}的通项公式为an=.
(2)证明:由(1)知=.
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,
所以≤,即=≤.
于是++…+≤1++…+=<.
所以++…+<.
、G10[2023·新课标全国卷Ⅱ]如图1­3,四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设二面角D­AE­C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E­ACD的体积.
图1­3
:(1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,
所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,,AD,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系
A­xyz,那么D,E,=.
设B(m,0,0)(m>0),那么C(m,,0),=(m,,0).
设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
那么即
可取n1=.
又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,
由题设易知|cos〈n1,n2〉|=,即
=,解得m=.
因为E为PD的中点,所以三棱锥E­­ACD的体积V=××××=.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]某地区2007年至2023年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份
2007
2023
2023
2023
2023
2023
2023
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y







(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2023年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=,=-.
:(1)由所给数据计算得=(1+2+3+4+5+6+7)=4,=(++++++)=,
(ti-)(yi-)=(-3)×(-)+(-2)×(-1)+(-1)×(-)+0×+1×+2×+3×=14,
===,
=-=-×4=,
所求回归方程为=+.
(2)由(1)知,=>0,故2007年至2023年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,.
将2023年的年份代号t=9,代入(1)中的回归方程,得=×9+=,
.
、H8、H10[2023·新课标全国卷Ⅱ]设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,
M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)假设直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)假设直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=
5|F1N|,求a,b.
:(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,
解得=,=-2(舍去).
故C的离心率为.
(2)由题意知,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,那么
即
代入C的方程,得+=1.②
将①及c=代入②得+=1,
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.
、B14[2023·新课标全国卷Ⅱ]函数f(x)=ex-e-x-2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;
(3)<<,估计ln2的近似值().
:(1)f′(x)=ex+e-x-2≥0,当且仅当x=0时,等号成立,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,
g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]
=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).
(i)当b≤2时,g′(x)≥0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0.
(ii)当b>2时,假设x满足2<ex+e-x<2b-2,即0<x<ln(b-1+)时,g′(x)<(0)=0,因此当0<x<ln(b-1+)时,g(x)<0.
综上,b的最大值为2.
(3)由(2)知,g(ln)=-2b+2(2b-1)ln2.
当b=2时,g(ln)=-4+6ln2>0,ln2>>;
当b=+1时,ln(b-1+)=ln,
g(ln)=--2+(3+2)ln2<0,
ln2<<.
.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]选修4­1:几何证明选讲
如图1­4,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:
(1)BE=EC;
(2)AD·DE=2PB2.
图1­4
:(1)连接AB,=PD,
故∠PAD=∠PDA.
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,
∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.
因此BE=EC.
(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.
由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,
所以AD·DE=2PB2.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]选修4­4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
:(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为
(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cost,sint).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,,所以直线GD与l的斜率相同,tant=,t=.
故D的直角坐标为,即.
[2023·新课标全国卷Ⅱ]选修4­5:不等式选讲
设函数f(x)=+|x-a|(a>0).
(1)证明:f(x)≥2;
(2)假设f(3)<5,求a的取值范围.
:(1)证明:由a>0,有f(x)=+|x-a|≥=+a≥2,所以f(x)≥2.
(2)f(3)=+|3-a|.
当a>3时,f(3)=a+,
由f(3)<5得3<a<.
当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.
综上,a的取值范围是.