高中数学选修4-5知识点(最全版).docx

高中数学选修4-5知识点


(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系.
(2)设a、b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A、,a<b;当点A在点B的右边时,a>b.
(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)
(4)两个实数比较大小的步骤
①作差;②变形;③判断差的符号;④结论.

(1)不等号有≠,>,<,≥,≤共5个.
(2)相等关系和不等关系
任意给定两个实数,它们之间要么相等,、相对的,不等是普遍的、绝对的,因此绝大多数的量都是以不等关系存在的.
(3)不等式的定义:用不等号连接起来的式子叫做不等式.
(4)不等关系的表示:用不等式或不等式组表示不等关系.

(1)对称性:a>b⇔b<a;
(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;
(3)可加性:a>b,c∈R⇔a+c>b+c;
(4)加法法则:a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(5)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;
(6)乘法法则:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
(7)乘方法则:a>b>0,n∈N且n≥2⇒an>bn;
(8)开方法则:a>b>0,n∈N且n≥2⇒>.
(9)倒数法则,即a>b>0⇒<.


定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.

(1)定理2:如果a,b>0,那么( ≥),当且仅当a=b时,等号成立.
(2)定理2的应用:对两个正实数x,y,
①如果它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值
,最大值为.
②如果它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值,最小值为2.
≤的几何解释
如图,AB是⊙O的直径,C是AB上任意一点,=a,BC=b,则AB=a+b,⊙O的半径R=,Rt△ACD∽Rt△DCB,CD2=AC·BC=ab,CD=,CD≤R⇒≤,当且仅当C点与O点重合时,CD=R=,即=.

(1)如果a∈R,那么a2≥0,当且仅当a=0时取等号;
(2)如果a,b>0,那么ab≤,当且仅当a=b时等号成立.
(3)如果a>0,那么a+≥2,当且仅当a=1时等号成立.
(4)如果ab>0,那么+≥2,当且仅当a=b时等号成立.
­几何平均不等式
、b、c∈R+,那么a3+b3+c3≥3abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.
2.(定理3)如果a、b、c∈R+,那么(≥),当且仅当a=b=c时,.
,a2,…,an∈R+,那么≥,当且仅当a
1=a2=…=an时,,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均.
二绝对值不等式


(1)绝对值定义:|a|=
(2)绝对值几何意义:实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离|OA|.
(3)数轴上两点间的距离公式:设数轴上任意两点A,B分别对应实数x1,x2,则|AB|=|x1-x2|.

(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
推论1:如果a,b是实数,那么|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
推论2:如果a,b是实数,那么|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.

1.|x|<a与|x|>a型不等式的解法
设a>0,则(1)|x|<a⇔-a<x<a;
(2)|x|≤a⇔-a≤x≤a;
(3)|x|>a⇔x<-a或x>a;
(4)|x|≥a⇔x≤-a或x≥a.
2.|ax+b|≤c(c>0)与|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
(2)|ax+b|≥c⇔ax+b≤-c或ax+b≥c.
3.|x-a|+|x-b|≤c与|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释.
(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个