《定积分概念》.ppt

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§
1º定积分问题的提出
问题一:
曲边梯形面积的计算
设y=f(x)0,x[a,b]
计算:由曲线y=f(x),y=0,x=a,
x=b所界的曲边梯形abcd的面积A
a
b
x
y
o
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a
b
x
y
o
a
b
x
y
o
(四个小矩形)
(九个小矩形)
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
可以看到,小矩形越多,小矩形的总面积越接近
于曲边梯形面积A
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(1)分割:
使
[a,b]被划分为n个子区间[xi-1,xi],
记[xi-1,xi]上小曲边梯形的面积为∆Ai,
y=f(x)
∆Ai
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则
(2)近似:
若区间[a,b]被分割的很细,即每个子区间
[xi-1,xi]的长度很小,则f(x)在[xi-1,xi]上近似于
常数,小曲边梯形近似于矩形.
任取
若记∆xi=xi-xi-1,
则
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(3)精确化:
可以看出,将区间
分割得越小,则式(1)的近似越精确
(1)
则有
(2)
记
(分割的最大直径)
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问题二:
变速直线运动的路程
设运动物体以速度v=v(t)作直线运动,求在时
刻t=a到t=b这段时间内,物体行经的路程S.
(1)分割:
使
记时间段[ti-1,ti]内,物体行经的路程∆Si,则
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(2)近似:
若子区间
很小,
则
速度v(t)在上近似不变(即近似于常数)
任取
(3)
(3)精确化:
可以看出,越小,
则式(3)的近似程度越高
记
则有
(4)
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说明:
(1)问题一,问题二是不同背景的问题,但面临同
一数学问题,即和式极限
的计算
(2)在问题的处理过程中,都使用了“以不变处
理变”的思想
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20定积分的定义
定义
设f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内任意
将[a,b]分成n个小区间:
在每个小区间上任取
一点,作和式
如果
则称f(x)在[a,b]可积,
A称为f(x)在[a,b]上的
定积分,
记为,
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a称为积分下限;
b称为积分上限;
f(x)称为被积
函数;
f(x)dx称为被积表达式;
x称为积分变量
说明:
(1)定积分的几何意义:
a
b
x
y
o
如果y=f(x)0,x[a,b]
曲边梯形的面积:
(2)极限值A与区间[a,b]的划分方式无关,
与的选取方式无关
即
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