初二数学下知识点.pdf

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张铭乾2011-1-16
初二下数学知识点回顾
分式

A
设A、,
B
意分母B的值不能为零,否则分式没有意义
,要进行约分化简
2、分式的基本性质
AAMAAM
,(M为不等于零的整式)
BBMBBM
(分式的运算法则与分数的运算法则类似).
acac
acadbc;
(异分母相加,先通分);bdbd
bdbdacadad
;
bdbcbc
n
ana
()n.
bb
0
1(a0)
p1
ap(a0,p为正整数).
a
amanamn,
注意正整数幂的运算性质amanamn(a0),
(am)namn,
(ab)nanbn
可以推广到整数指数幂,也就是上述等式中的m、n可以是O或负整数.
6、解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,..验根,即把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,若结果不是0,说明此根是原方程的根;若结果是
0,说明此根是原方程的增根,必须舍去.
7、列分式方程解应用题的一般步骤:
(1)审清题意;(2)设未知数(要有单位);(3)根据题目中的数量关
系列出式子,找出相等关系,列出方程;(4)解方程,并验根,还要看方程的解是否符合题意;(5)写出答案(要有单位)。:.
1
1.(-5)0=_____;-2=________;,分式x+1
有意义;
()1
:c2+7c=c+7;
10a2b
:4ab2=______________;
11
:x-1、x-2的最简公分母为:______;
xa
-4=2+x-4有增根,则增根为x=______;
3x-a1
=______时,分式2x-1的值为1;=2是方程x+1=3的
解,则a=______;
,用科学记数法表示为
_______________米;
111
:R=R1+R2,若R1=10,R2=15,则R=___________;
26537
:2-4+6-4=2,5-4+3-4=2,7-4+
110-2
1-4=2,10-4+-2-4=2,依照以上各式形成的规律,在括
20()
号内填入正确的数,使等式20-4+()-4=2成立
,是分式方程的是()
11x+23+x
===-2y=1
,成立的是()
ym6a2xa2a+1
A.===bD.=a-1
31
:2(x-2)=x化为整数方程,方程两边需同时乘以(
)
(x-2)-4D.
2x(x-2)
16.-(-2)0的运算结果为()
A.-:.
a2-b2
+ab的结果为()
a-ba-ba+b
+.
a-b
a+b
,且每个人的工作效率是相同的,则这
样的(m+n)人完成这项工程所需的天数为()
ama
+++nD.
m+n
am
x+1x+1x2+9x
:x2-2x+1÷x-1;:x2+3x+
x2-9x
x2+6x+9
806071-3x
:x+3=x-3;:x+2+2=x+2
xx4x
,再求值:(x-2+x+2)÷x-2,其中x=2007.
x2-2x+1x2-x1
=x2-1÷x+1-x+1,试说明在等号右边代数式有意
义的条件下不论x为何值,y的值不变。
,某市自07年1月1日起调整
居民用水价格,每立方米水费上涨25%。该市林老师家06年12月份的水
费是18元,而07年1月份的水费是36元,且已知林老师家07年1月份
的用水量比06年12月份的用水量多6m3。求该市去年的居民用水价格。
、乙两队合作12天可以完成,共需工程费用13800
元,,且甲队每天的工程费比乙队多150元。
⑴甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天;
⑵若工程管理部分决定从两个队中选一个队单独完成此项工程,以
节约资金的角度考虑,应选择哪个工程队?请说明理由。
正比例、反比例、一次函数
第一象限(+,+),第二象限(-,+)第三象限(-、-)第四象限:.
(+,-);
x轴上的点的纵坐标等于0,反过来,纵坐标等于0的点都在x轴上,
y轴上的点的横坐标等于0,反过来,横坐标等于0的点都在y轴上,
若点在第一、三象限角平分线上,它的横坐标等于纵坐标,若点在第二,四象限角平分线上,它的横坐标与纵坐标互为相反数;
若两个点关于x轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数;若两个点
关于y轴对称,纵坐标相等,横坐标互为相反数;若两个点关于原点对称,
横坐标、纵坐标都是互为相反数。
1、一次函数,正比例函数的定义
(1)如果y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),那么y叫做x的一次函数。
(2)当b=0时,一次函数y=kx+b即为y=kx(k≠0).这时,y叫做x的
正比例函数。
注:正比例函数是特殊的一次函数,一次函数包含正比例函数。
2、正比例函数的图象与性质
(1)正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过(0,0)(1,k)的一条直线。
(2)当k>0时y随x的增大而增大直线y=kx经过一、三象限
从左到右直线上升。
当k<0时y随x的增大而减少直线y=kx经过二、四象限
从左到右直线下降。
3、一次函数的图象与性质
b
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过(0,b)(-,0)的一条直
k
线。
b
注:(0,b)是直线与y轴交点坐标,(-,0)是直线与x轴交点
k
坐标.
(2)当k>0时y随x的增大而增大直线y=kx+b(k≠0)是上升的:.
当k<0时y随x的增大而减少直线y=kx+b(k≠0)是下降的
4、一次函数y=kx+b(k≠0,kb为常数)中k、b的符号对图象的影响
(1)k>0,b>0直线经过一、二、三象限
(2)k>0,b<0直线经过一、三、四象限
(3)k<0,b>0直线经过一、二、四象限
(4)k<0,b<0直线经过二、三、四象限
5、对一次函数y=kx+b的系数k,b的理解。
(1)k(k≠0)相同,b不同时的所有直线平行,即直线l1:y=k1x+b1;直
线l2:y=k2x+b2(k1,k2均不为零,k1,b1,k2,b2为常数)
k1=k2k1=k2
l1∥l2l1与l2重合
b1≠b2b1=b2
(2)k(k≠0)不同,b相同时的所有直线恒过y轴上一定点(0,b),例如:
1
直线y=2x+3,y=-2x+3,y=x+3均交于y轴一点(0,3)
2
6、直线的平移:所谓平移,就是将一条直线向左、向右(或向上,向下)平行移动,平移得到的直线k不变,直线沿y轴平移多少个单位,可由公
式︱b-b︱得到,其中b,b是两直线与y轴交点的纵坐标,直线沿
1212
x轴平移多少个单位,可由公式︱x1-x2︱求得,其中x1,x2是由两直
线与x轴交点的横坐标。
7、直线y=kx+b(k≠0)与方程、不等式的联系
(1)一条直线y=kx+b(k≠0)就是一个关于y的二元一次方程
(2)求两直线l1:y=k1x+b1(k1≠0),l2:y=k2x+b2(k2≠0)的交点,就:.
是解关于x,y的方程组 y=k1x+b1 y=k2x+b2
(3)若y>0则kx+b>0。若y<0,则kx+b<0
(4)一元一次不等式,y1≤kx+b≤y2(y1,y2都是已知数,且y1<y2)的
解集就是直线y=kx+b上满足y1≤y≤y2那条线段所对应的自变量的取值
范围。
(5)一元一次不等式kx+b≤y0(或kx+b≥y0)(y0为已知数)的解集就是
直线y=kx+b上满足y≤y0(或y≥y0)那条射线所对应的自变量的取范围。
8、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件
(1)由于比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k,故只要一个条件
(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值。
(2)一次函数y=kx+b中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定
两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点,或两对
x,y的值。
9、反比例函数
(1)反比例函数及其图象
k
如果y(k是常数,k0),那么,y是x的反比例函数。
x
反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,可用描点法画出反比
例函数的图象
(2)反比例函数的性质当K>0时,图象的两个分支分别在一、三象限内,在每个象限内,y
随x的增大而减小;
当K<0时,图象的两个分支分别在二、四象限内,在每个象限内,y
随x的增大而增大。
k
(3)由于比例函数y(k是常数,k0)中只有一个待定系数k,故
x
只要一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值。:.
2
y
1、函数2x4中,自变量x的取值范围为.
2、若函数y=-2xm+2是正比例函数,则m的值是.
3、已知一次函数y=kx+5的图象经过点(-1,2),则k=。
4、已知点A(3,m)与点B(n,-2)关于y轴对称,则m=,n=.
5、点P(3,-4)关于X轴对称的点是__________。
6、一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标是,与y轴交点坐
标是,
图象与坐标轴所围成的三角形面积是.
7、将直线y=3x+4向下平移6个单位,得到直线________________。
8、点P(a,a-2)在第三象限,则a的取值范围是____.
9、已知y-2与x成反比例,当x=3时,y=1,则y与x间的函数关系式
为;
k1
10、设有反比例函数y,(x1,y1)、(x2,y2)为其图象上的两点,
x
若x10x2时,y1y2,则k的取值范围是___________
11、已知点P在第二、四象限夹角的平分线上,且到y轴的距离为42,则
点P的坐标为_________________。
x1中,自变量x的取值范围是()
<≤>≥1
,且到轴的距离分别为4,3,则点的坐标为()
A、(4,-3)B、(3,-4)
C、(-3,4)D、(-4,3)
(1,2)关于x轴对称点的坐标为()
A、(-1,2)B、(-1,-2)C、(1,-2)
D、(2,-1)
=-2x+3的图像不经过的象限是(
).:.
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
,小军和爸爸去登山,
走了一段路程,(米)与登山所用的时间t(分)的关系(从爸爸开始登山时
计时).根据图象,下列说法错误的是()
,小军已走了50米
,小军仍在爸爸的前面

,10分钟后登山的速度比小军快
k
17、如果反比例函数y的图像经过点(-3,-4),那么函数的图像应
x
在( )
A、第一、三象限 B、第一、二象限 C、第二、四象限 D、第三、
四象限
m22
18、若反比例函数y(2m1)x的图像在第二、四象限,则m的值是
( )
1
A、-1或1 B、小于的任意实数C、-1 D、不能确
2
定
k
19、正比例函数ykx-k例函数y在同一坐标系内的图象为(
x
yyyy
)
xxx
oooox
ABCD
k
20、如右图,A为反比例函数y图象上一点,AB垂直x轴于B点,若
x
3
S△AOB=3,则k的值为()A、6B、3C、D、不能确定
2
y
A
OBx:.
12
21、已知反比例函数y的图象和一次函数
x
ykx7的图象都经过点m,2。⑴求这个一次函数
的解析式;⑵如图,梯形ABCD的顶点A、B在这个一
次函数的图象上,顶点C、D在已知反比例函数的图象
上,两底AD、BC与y轴平行,且点A、B的横坐标分
别为2和4,求梯形ABCD的面积。
22、如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和
y轴上,且点A的坐标为4,0,点C的坐标为0,2,点P在线段CB上,
距离y轴3个单位,有一直线ykxbk0经过点P,且把矩形
OABC分成两部分。
⑴若直线又经过x轴上一点D,且把矩形OABC分成的两部分面积相等,求
k和b的值;
⑵若直线又经过线段AB上一点Q,且把矩形OABC分成的两部分的面积比为
3:29,求点Q坐标。:.
23、如图所示,直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图象,直线PB是一
次函数y=-2x+m(m>n)的图象
(1)用m,n表示A,B,P的坐标
(2)若点D是PA与y轴的交点,且四边形
5
PDOB的面积是,AB=2,试求P点坐标并
6
写出直线PA·PB的解析式
24、已知:如图,在平面直角坐标系xoy中,A、B两点的坐标分别为
A(12,0)、B(0,9)若点N在直线AB上,且
SBON:SBOA=1:3,求直线ON的解析式。
k
=和一次函数
2x
y=2x-1,其中一次函数的图象经过(a,b),(a+1,b+k)两点。(1)求
反比例函数的解析式
(2)如图,已知点A在第一象限,且同时在上述两个函数的图象上,求
A点的坐标。
(3)利用(2)的结果,请问:在x轴上是否存在点P,使△AOP为等腰
三角形?若存在,把符合条件的P点坐标都求出来;若不存在,请说明理
由。:.
1
,直线y=x+2分别交x、y轴于点A、C,P是该直线上在第
2
一象限内的一点,PB⊥x轴,B为垂足,S△ABP=9.
(1)求点P的坐标;
(2)设点R与点P的同一个反比例函数的图象上,且点R在直线PB
的右侧,作RT⊥x轴,T为垂足,当△BRT与△AOC相似时,求点R的坐
标.
,锐角
⊿OAB的顶点A在x轴的正半轴上,在第一象限
3
sin∠AOB=,tg∠BAO=3,OB=10
5
(1)若反比例函数的图象经过点B,求反比例函数的解析式
(2)试判断⊿AOB的形状
28、某单位为响应政府发出的全民健身的号召,打算在长和宽分别为20米

的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁(如图为平面示意图),已知装修旧
墙壁的费用为20元/平方米,新建(含装修)墙壁的费用为80元/平方米.
设健身房的高为3米,一面旧墙壁AB的长为x米,修建健身房的总投入
为y元.
AB
(1)求y与x的函数关系式;
(2)为了合理利用大厅,要求自变量x必须满足8≤x≤
DC
资金为4800元时,问利用旧墙壁
11米
的总长度为多少米?
20米:.
三角形相似
:
三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形.
:
(1)若DE∥BC(A型和X型)则△ADE∽△ABC
(2)射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且
AC2=__________,CD2=___________,BC2=______;
AEDC
DEA
BCBCADB
(3)两个角对应相等的两个三角形__________;
(4)两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似;(5)三边对应成比例的两个三角形___________.
:
满足(1)AC2=AD·AB,(2)∠ACD=∠B,(3)∠ACB=∠ADC,都可判
定△ADC∽△ACB.
ADAE
当或AD·AB=AC·AE时,△ADE∽△ACB.
ACAB
AA
DD
E
BCBC
,对应角________.
,一般用k表示.
,对应边的________线,对应边上的_______线的比等于_______比,周长之比也等于________比.
.
,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
,AD∥EF∥BC,:.
,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3,则BM=______.
,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若
ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________.
∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形
的周长为_____.
,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边
形ADEC的面积为__________.
,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,-
CD=:.
,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.
,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.
,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=,BC=6,EF=3,则PF=_____.
,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则SΔADE∶SΔABE=___________.
,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.
,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,
则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.
,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,SΔADE=1,则S四边形BCDE=:.
:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥:ΔAEF∽ΔACB.
:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.
求证:AB·BC=AC·CD.
:ΔACB为等腰直角三角形,∠ACB=900延长BA至E,延长AB至
F,∠ECF=1350。求证:ΔEAC∽ΔCBF
:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠:ΔABC∽ΔEAD.
:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.
求证:(1)CE2=AE·EB;(2)AE·EB=ED·EP:.
24已知,如图,在△ABC中,D为BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB
相交于点E,EC与AD相交于点F.
(1)求证:△ABC∽△FCD;
(2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.
A
E
F
BDC
解直角三角形
,cosα,tanα,cotα的定义:
b
sinα=<1,cosα=_______<1tanα=_______>0,cotα=________>0
c
(a2+b2=c2常用)
,cosα,tanα,cotα之间的关系:
(1)sin2α+cos2α=1,tanα·cotα=1
sin
tanα=(角度必须相同)
cos
(2)sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα
tan(90°-aα)=cotα,cot(90°-α)=tanα
:
30°45°60°
sinα
cosα
tanα
cotα:.
:在直角三角形中已知一些边和角求未知的边和角叫做解直角三角形.
:
A
(1)已知一边,一锐角,(2)已知两边.
:
(1)三边关系:a2+b2=c2,(2)角关系:b
c
∠A+∠B=_____,
abb
(3)边角关系:sinA=,sinB=,cosA=,CaB
ccc
aabba
cosB=,tanA=,cosA=,tanB=,cotB=.
cbaab
、俯角
α角叫仰角,β角叫做俯角.
ACAC
:AB的坡度iAB=,∠α叫坡角,tanα=i=.
BCBC
△ABC中,∠C=Rt∠,BC=4,AB=5,则tanB=
2、河堤横断面如图,堤高BC=5m,迎水斜坡AB的坡比为1:2,那么斜坡
AB的长为m.
1
⊿ABC中,C90,AB=6,sinA,则BC=__________
2
01
4。已知:如图在△ABC中,∠A=30,tanB=,BC=10,则AB的长为
3
_________。
,在△ABC中,∠ACB=900,BC=4,AC=5,CD⊥AB,则sin∠ACD的
值是________,tan∠BCD的值是____________.
C
BA
D
,老师带领学生去测量河两岸A、B两处之间的距离,
先从A处出发与AB方向,向前走了10米到处,在C处测得
∠ACB=600,(如图所示),那么A,B之间的距离约为米(计算结果:.
到米).
,选择M点作为观测点,从M
点测得山顶P的仰角为30°.在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形
图上,量得这两点间的图上距离为3cm,则山顶P的海拔高度为
_______m(取3).
M
P1000
750
500
250
8立达中学升国旗时,余露同学站在离旗杆底部12m处行注目礼,当国旗
升到旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为45°,,
则旗杆高度为m.
9、在Rt△ABC中,∠C=90°AB=13㎝,BC=5㎝,则sinB的值是()
512512
.
1313125
10、如果∠α是等边三角形的一个内角,那么cosα的值等于 (
)
123
A、B、C、D、1
222
O4
△ABC中,∠C=90,如果cosA=,那么sinB的值是
5
4334
.
5543
1B
为锐角,且cos(90),则的度数是
2
°°°°
AC
,ABC中,C90,BC2,AB3,则
下列结论中正确的是()
5225
=
3332
△ABC中,∠C是直角,各边的长度都分别扩大2倍,那么∠A的
三角函数值():.
A没有变化B分别扩大2倍
C分别扩大2倍D不能确定
,AB为一建筑物,从地面C点用测角仪测得A的仰角为α,仪
器高DC=b,若BC=a,则建筑物AB的高度可表示为()
=b+=b+=b+a﹒=b+a
costan
△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BC=3,AC=4,设
∠BCD=α,则tanα的值为()
3434
(A)(B)(C)(D)
4355
17、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,tanB=3,上底AD=10,梯形
的高是6,
求(1)∠B的度数;(2)下底BC的值。(结果保留根号)
,已知测速站P到公路L的距离PO为40米,一辆汽车在公路L上
行驶,测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒,并测得
∠APO=600,∠BPO=300,计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米(结
果保留四个有效数字),并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度。
ABO
L
,某风景区内有一古塔AB,在塔的北面有一建筑物,冬至日
的正午光线与水平面的夹角是30°,此时塔在建筑物的墙上留下了高3
米的影子CD;而在春分日正午光线与地面的夹角是45°,此时塔尖A在地F
面上的影子E与墙角C有15米的距离(B、E、C在一条直线上),求塔AB
的高度(结果保留根号):.
20、如图,某船向正东航行,在A处望见某岛C在北偏东60°,前进6海
里到点B