向量与坐标知识点总结.doc

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向量与坐标
第一节向量的概念:空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模(moduius)。
规定,长度为0的向量叫做零向量,记为0.
模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量。记为-a
方向相等且模相等的向量称为相等向量。
长度为一个单位(即模为1)的向量,,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0,a0=a/|a|。
1共线向量定理
两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb
2共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
3空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底,零向量的表示唯一。

三角形定则解决向量加减的方法:将各个向量依次首尾顺次相接,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法:将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,
向量的加法
结果为公共起点的对角线。
平行四边形定则解决向量减法的方法:将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。)
坐标系解向量加减法:
在直角坐标系里面,(x,y)形式,
A(X1,Y1)B(X2,Y2),则A+B=(X1+X2,Y1+Y2),A-B=(X1-X2,Y1-Y2) 
简单地讲:向量的加减就是向量对应分量的加减。类似于物理的正交分解。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=
OA-OB=“共同起点,指向被
向量的减法
减”
a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').
如图:c=a-b 以b的结束为起点,a的结束为终点。
交换律:a+(-b)=a-b

实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。
当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;
当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
实数p和向量a的点乘乘积是一个数。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
需要注意的是:向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。

如果V是一个线性空间,如果存在不全为零的系数c1,c2,...,cn∈F,使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0,那么其中有限多个向量v1,v2,...,vn称为线性相关的.
反之,称这组向量为线性无关的。更一般的,如果有无穷多个向量,我们称这无穷多个向量是线性无关的,如果其中任意有限多个都是线性无关的。
分解定理
平面向量分解定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底。
定比分点公式
定比分点公式(向量P1P=λ·向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是直线上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数λ且λ不等于-1,使向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)/(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三向量共面的充要条件是他们线性相关
空间任何四个向量总是线性相关
空间四个以上向量总是线性相关

三个坐标面把空间分成八个部分,每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限,其他第二、三、四卦限,在xoy面的上方,按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
空间向量的八个卦限的符号

Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
x
+
-
-
+
+
-
-
+
y
+
+
-
-
+
+
-
-
z
+
+
+
+
-
-
-
-
空间的一个定点O,连同三个不共面的有序向量e1,e2,e3的全体,叫做空间中的一个标架,记做{O;e1,e2,e3}。如果e1,e2,e3都是单位向量,那么{O;e1,e2,e3}就叫做笛卡儿标架。两两互相垂直的标架叫做笛卡儿直角标架。在一般情况下,{O;e1,e2,e3}叫做仿射标架。
标架一般是完全决定空间坐标系来用的,所以空间坐标系也可以用标架{O;e1,e2,e3}来表示,这时候点O就可以叫做坐标原点,而向量e1,e2,e3都叫做坐标向量。
当空间取定标架{O;e1,e2,e3}后,空间全体向量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x,y,z的集合具有一一对应的关系,这种一一对应的关系就叫做空间向量或点的一个坐标系。此时,向量或点关于标架{O;e1,e2,e3}的坐标,也称为该向量或点关于由这标架所确定的坐标系的坐标。标架是空间坐标系的向量化。
笛卡尔坐标系(Cartesian)-系统用X、Y和Z表示坐标值。
柱坐标系(Cylindrical)-系统用半径、theta(q)和Z表示坐标值。
球坐标系(Spherical)-系统用半径、theta(q)和phi(f)表示坐标值。

设向量AB的始点A和终点B在轴l上的射影分别为A’和B’,那么向量A’B’叫做向量AB在轴l上的射影向量,记做射影向量lAB
射影lAB=|AB|COSθ,θ=∠(l,AB)

定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向),记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉(依定义有:cos〈a,b〉=a·b /|a|·|b|);若a、b共线,则a·b=±∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算律
a·b=b·a(交换律)
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)
向量的数量积与实数运算的主要不同点
,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)²≠a²·b²。
,即:由a·b=a·c(a≠0),推不出b=c。
3.|a·b|与|a|·|b|不等价
|a|=|b|,不能推出a=b,也不能推出a=-b,但反过来则成立。

定义:两个向量a和b的向量积
向量的几何表示
(外积、叉积)是一个向量,记作a×b(这里“×”并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”)。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直,则∣a×b∣=|a|*|b|(此处与数量积不同,请注意),若a×b=0,则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。
运算法则:运用三阶行列式
设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量
A=(x1,y1,z1)B=(x2,y2,z2)则A*B=
abc
x1y1z1
x2y2z2
向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a平行b〈=〉a×b=0
向量的向量积运算律
a×b=-b×a
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)
a×(b+c)=a×b+a×c.
(a+b)×c=a×c+b×c.
上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。
如:a×(2b)=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的!
注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

定义:给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,
向量的混合积
所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合积具有下列性质:
、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成左手系时ε=-1)
:三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
3.(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
例题
正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连,L是EH中点,求证LB⊥GK?
设AE=a﹙向量﹚,AG=a',AD=c,AB=c',CH=b,CK=b'有aa'=bb'=cc'=0,a2=a'2,b2=b'2,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac',bc=b'c'.b'c=-bc'﹙*﹚EH=-a+c+c'+bLB=EH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2,GK=-a'+c'+c+b'从﹙*﹚:﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=……=0.∴LB⊥GK

由于二重向量叉乘的计算较为复杂,于是直接给出了下列化简公式以及证明过程:
二重向量叉乘化简公式及证明
向量积和数量积的关系式
给定空间内四个向量a、b、c、d,则这四个向量之间满足如下关系:
证明:
由混合积的性质可知
(即把c×d看成一个新的向量e,利用性质(a×b)·e=a·(b×e))
再根据二重向量积的性质可知
该公式可用于证明三维的柯西不等式
证明:令公式中a=c、b=d,则:
设
  
,那么:
即

等号成立的条件是
  
,即a、b共线(
  
或b=0)
轨迹与方程