天一专升本高数知识点.doc

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1、基本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质,奇偶性、有界性
奇函数:,图像关于原点对称。
偶函数:,图像关于y轴对称
3、无穷小量、无穷大量、阶的比较
设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,则
(1)若,则是比高阶的无穷小量。
(2)若(不为0),则与是同阶无穷小量
特别地,若,则与是等价无穷小量
(3)若,则与是低阶无穷小量
记忆方法:看谁趋向于0的速度快,谁就趋向于0的本领高。
4、两个重要极限
(1)
使用方法:拼凑,一定保证拼凑sin后面和分母保持一致
(2)
使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满足条件得拼凑。
5、
的最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂,谁的次幂高,谁的头大,趋向于无穷大的速度快。,以相同的比例趋向于无穷大;,分母以更快的速度趋向于无穷大;,分子以更快的速度趋向于无穷大。
7、左右极限
左极限:
右极限:
注:此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
8、连续、间断
连续的定义:
或
间断:使得连续定义无法成立的三种情况
记忆方法:1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在,但不相等
9、间断点类型
(1)、第二类间断点:、至少有一个不存在
(2)、第一类间断点:、都存在
注:在应用时,先判断是不是“第二类间断点”,左右只要有一个不存在,就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点;左右相等是“可去”,左右不等是“跳跃”
10、闭区间上连续函数的性质
最值定理:如果在上连续,则在上必有最大值最小值。
零点定理:如果在上连续,且,则在内至少存在一点,使得
第三讲中值定理及导数的应用
罗尔定理
如果函数满足:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3),则在(a,b)内至少存在一点,使得
b
记忆方法:脑海里记着一幅图:
拉格朗日定理
如果满足(1)在闭区间上连续
(2)在开区间(a,b)内可导;
则在(a,b)内至少存在一点,使得
脑海里记着一幅图:
(*)推论1:如果函数在闭区间上连续,在开区间(a,b)内可导,且,那么在内=C恒为常数。
记忆方法:只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。
(*)推论2:如果在上连续,在开区间内可导,且,那么
记忆方法:两条曲线在每一点切线斜率都相等
驻点
满足的点,称为函数的驻点。
几何意义:切线斜率为0的点,过此点切线为水平线
4、极值的概念
设在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有,则称为函数的极大值,称为极大值点。
设在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有,则称为函数
的极小值,称为极小值点。
记忆方法:在图像上,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。
拐点的概念
连续曲线上,凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点,称为曲线的拐点。
注在原点即
是拐点
单调性的判定定理
设在内可导,如果,则在内单调增加;
如果,则在内单调减少。
记忆方法:在图像上凡是和右手向上趋势吻合的,是单调增加,;
在图像上凡是和左手向上趋势吻合的,是单调减少,;
取得极值的必要条件
可导函数在点处取得极值的必要条件是
取得极值的充分条件
第一充分条件:
设在点的某空心邻域内可导,且在处连续,则
如果时,;,那么在处取得极大值;
如果时,;,那么在处取得极小值;
如果在点的两侧,同号,那么在处没有取得极值;
记忆方法:在脑海里只需记三副图,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。
第二充分条件:
设函数在点的某邻域内具有一阶、二阶导数,且,
则(1)如果,那么在处取得极大值;
(2)如果,那么在处取得极小值
凹凸性的判定
设函数在内具有二阶导数,(1)如果,那么曲线在内凹的;(2)如果,那么在内凸的。
图像表现:
凹的表现凸的表现
渐近线的概念
曲线在伸向无穷远处时,能够逐步逼近的直线,称为曲线的渐近线。
水平渐近线:若,则有水平渐近线
(2)垂直渐近线:若存在点,,则有垂直渐近线
求斜渐近线:若,则为其斜渐近线。
罗比达法则
遇到“”、“”,就分子分母分别求导,直至求出极限。
如果遇到幂指函数,需用把函数变成“”、“”。
第二讲导数与微分
导数的定义
(1)、
(2)、
(3)、
注:使用时务必保证后面和分母保持一致,不一致就拼凑。
导数几何意义:在处切线斜率
法线表示垂直于切线,法线斜率与乘积为—1
导数的公式,记忆的时候不仅要从左到右记忆,还要从右到左记忆。
求导方法总结
(1)、导数的四则运算法则
(2)、复合函数求导:
是由与复合而成,则
(3)、隐函数求导
对于,遇到y,把y当成中间变量u,然后利用复合函数求导方法。
(4)、参数方程求导
设确定一可导函数,则
(5)、对数求导法
先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导
(6)、幂指函数求导
幂指函数,利用公式
然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。
第二种方法可使用对数求导法,先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导
注:优选选择第二种方法。
高阶导数
对函数多次求导,直至求出。
微分
记忆方法:微分公式本质上就是求导公式,后面加,不需要单独记忆。
可微、可导、连续之间的关系
可微可导
可导连续,但连续不一定可导
可导与连续的区别。
脑海里记忆两幅图
(1)(2)
在x=0既连续又可导。在x=0只连续但不可导。
所以可导比连续的要求更高。
第四讲不定积分
原函数与不定积分
原函数:若,则为的一个原函数;
不定积分:的所有原函数+C叫做的不定积分,记作
不定积分公式
记忆方法:求导公式反着记就是不定积分公式
三、不定积分的重要性质
1、
2、
注:求导与求不定积分互为逆运算。
积分方法
基本积分公式
第一换元积分法(凑微分法)
把求导公式反着看就是凑微分的方法,所以不需要单独记忆。
第二换元积分法
三角代换
三角代换主要使用两个三角公式:
分部积分法
第五讲定积分
1、定积分定义
如果在上连续,则在上一定可积。
理解:既然在闭区间上连续,那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形,面积存在所以一定可积,因为面积是常数,所以定积分如果可积也是常数。
2、定积分的几何意义
如果在上连续,且,则表示由,x轴所围成的曲边梯形的面积。S=。
如果在上连续,且,S=。
3、定积分的性质:
(1)
(2)=
(3)
(4)
(5)如果,则
(6)设m,M分别是在的min,max,则
M
m
记忆:小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积
(7)积分中值定理
如果在上连续,则至少存在一点,使得
记忆:总可以找到一个适当的位置,把凸出来的部分切下,剁成粉末,填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。
称为在上的平均值。
积分的计算
(1)、变上限的定积分
注:由此可看出来是的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是而不是t
(2)、牛顿—莱布尼兹公式
设在上连续,是的一个原函数,则
由牛顿公式可以看出,求定积分,本质上就是求不定积分,
只不过又多出一步代入积分上下限,所以求定积分也有四种方法。
奇函数、偶函数在对称区间上的定积分
(1)、若在上为奇函数,则
(2)、若在上为偶函数,则
注:此方法只适用于对称区间上的定积分。
广义积分
无穷积分
定积分关于面积计算
面积,记忆:面积等于上函数减去下函数在边界上的定积分。
d
c
面积S=
记忆方法:把头向右旋转90°就是第一副图。
旋转体体积
y
abx
曲线绕轴旋转一周所得旋转体体积:
(2)、
ab
阴影部分绕绕轴旋转一周所得旋转体体积:
(3)、
y
d
c
x
绕轴旋转一周所得旋转体体积:
(4)、
y