新版人教版九年级数学全册知识点.doc

该【新版人教版九年级数学全册知识点 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【16】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【新版人教版九年级数学全册知识点 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第二十一章一元二次方程

在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3),先看它是否为整式方程,若是,+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式:ax2+bx+c=0时,应满足(a≠0)
——解一元二次方程

(1)直接开平方法:根据平方根的意义,用此法可解出形如(a≥0),(b≥0)类的一元二次方程.,则;,,.对有些一元二次方程,本身不是上述两种形式,但可以化为或的形式,也可以用此法解.
(2)因式分解法:当一元二次方程的一边为零,而另一边易分解成两个一次因式的积时,=0的条件是a=0或b=0,使方程x(x-3)=0的条件是x=0或x-3=,所以方程x(x-3)=0有两个根,而不是一个根.
(3)配方法:任何一个形如的二次式,都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方,,可把方程化为,,即,从而得解.
注意:(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1.
(2)解一元二次方程时,一般不用此法,掌握这种配方法是重点.
(3)公式法:一元二次方程(a≠0)的根是由方程的系数a、b、,.用公式法解一元二次方程的一般步骤:
①先把方程化为一般形式,即(a≠0)的形式;
②正确地确定方程各项的系数a、b、c的值(要注意它们的符号);
③计算时,方程没有实数根,就不必解了(因负数开平方无意义);
④将a、b、c的值代入求根公式,求出方程的两个根.
说明:象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程,而公式法则是最普遍,.

一元二次方程的根有三种情况:①有两个不相等的实数根;②有两个相等的实数根;③,.
△>0方程有两个不相等的实数根.
△=0方程有两个相等的实数根.
△<0方程没有实数根.
判别式的应用
(1)不解方程判定方程根的情况;
(2)根据参数系数的性质确定根的范围;
(3)解与根有关的证明题.

定理:如果方程(a≠0)的两个根是,那么.
当a=1时,.
应用:
(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;
(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数;
(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程;
(4)已知两数和与积求两数.

(1)面积问题;
(2)数字问题;
(3)平均增长率问题.
步骤:
①分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的);
②设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
③找出相等关系,并用它列出方程;
④解方程求出题中未知数的值;
⑤检验所求的答数是否符合题意,并做答.
这里关键性的步骤是②和③.
注意:列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展,解题的方法是相同的,但因一元二次方程有两解,要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义.
第二十二章二次函数

二次函数概念
一般地,把形如y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0,b,c可以为0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线,顶点坐标,交点式为(仅限于与x轴有交点和的抛物线),与x轴的交点坐标是和。
  注意:“变量”不同于“自变量”,不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别,如同函数不等于函数的关系。
二次函数公式大全
二次函数 
 
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: 
y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 
则称y为x的二次函数。 
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 
 
一般式:y=ax²;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 
顶点式:y=a(x-h)²;+k[抛物线的顶点P(h,k)] 
交点式:y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线] 
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: 
h=-b/2ak=(4ac-b²;)/4ax1,x2=(-b±√b²;-4ac)/2a 
 
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象, 
可以看出,二次函数的图象是一条抛物线。 
 
。对称轴为直线 
x=-b/2a。 
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 
,坐标为 
P[-b/2a,(4ac-b²;)/4a]。 
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b²-4ac=0时,P在x轴上。 
。 
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。 
|a|越大,则抛物线的开口越小。 
。 
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。 
。 
抛物线与y轴交于(0,c) 
 
Δ=b²-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。 
Δ=b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 
Δ=b²-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。 
 
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax²;+bx+c, 
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 
即ax²;+bx+c=0 
此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。 
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
例1,二次函数配方为的形式,则()
用函数观点看一元二次方程
,公共点的横坐标是,那么当时,函数的值是0,因此
就是方程的一个根。
:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。
实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
第二十三章旋转


(1)定义:在平面内,将一个圆形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角称为旋转角。
(图形的旋转
本节我们重点了解旋转、平移性质,除外还有一个重点是点的对称变换。
二、知识要点
1、旋转:将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中,O叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。
2、旋转性质
①旋转后的图形与原图形全等
②对应线段与O形成的角叫做旋转角
③各旋转角都相等
3、平移:将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中,该直线的方向叫做平移方向,该距离叫做平移距离。
4、平移性质
①平移后的图形与原图形全等
②两个图形的对应边连线的线段平行相等(等于平行距离)
③各组对应线段平行且相等
5、中心对称与中心对称图形
①中心对称:若一个图形绕着某个点O旋转180°,能够与另一个图形完全重合,则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中,点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
②中心对称图形:若一个图形绕着某个点O旋转180°,能够与原来的图形完全重合,则这个图形叫做中心对称图形。其中,这个点叫做该图形的对称中心。
6、轴对称与轴对称图形
(1)、轴对称:若两个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中,这条轴叫做对称轴。
注:轴对称的性质:①两个图形全等;②对应点连线被对称轴垂直平分
(2)轴对称图形:若一个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,则这个图形叫做轴对称图形。
7、点的对称变换
(1)、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y)
(2)、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P'(x,-y)
(3)、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P'(-x,y)
(4)、关于直线y=x对称
两个点关于直线y=x对称时,横坐标与纵坐标与之前对换,即:P(x,y)关于直线y=x的对称点为P'(y,x)
(5)、两个点关于直线y=-x对称时,横坐标与纵坐标与之前完全相反,即:P(x,y)关于直线y=x的对称点为P'(-y,-x)
注:y=x的直线是过一三象限的角平分线,y=-x的直线是过二四象限的角平分线。
第二十四章圆

定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
(2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆。
圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心
(2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。
(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。
(4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注:圆心一般用字母O表示
直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。
半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中:直径是半径的2倍,=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。
圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。计算时,通常取它的近似值,π≈。
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2,用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。
周长计算公式
1.、已知直径:C=πd 2、已知半径:C=2πr 3、已知周长:D=c\π
4、圆周长的一半:1\2周长(曲线) 5、半圆的长:1\2周长+直径
面积计算公式:
1、已知半径:S=πr平方 2、已知直径:S=π(d\2)平方3、已知周长:S=π(c\2π)平方
、直线、圆和圆的位置关系

①点在圆内点到圆心的距离小于半径②点在圆上点到圆心的距离等于半径
③。

经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。

相交:直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。
相切:直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。
相离:直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d,那么
①直线和⊙O相交;②直线和⊙O相切;③直线和⊙O相离。
圆和圆
定义:
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆的外离。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做两个圆的外切。
两个圆有两个交点,叫做两个圆的相交。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做两个圆的内切。
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆的内含。
原理:
圆心距和半径的数量关系:
两圆外离<=>d>R+r两圆外切<=>d=R+r
两圆相交<=>R-r<d<R+r(R>=r)两圆内切<=>d=R-r(R>r)
两圆内含<=>d<R-r(R>r)

一、本章知识框架
二、本章重点
:
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
⊙O上.
设⊙O的半径为R,OP=d,则有
d>r点P在⊙O外;
d=r点P在⊙O上;
d<r点P在⊙O内.

(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质:
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
(3)弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角.
弦切角的性质:弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.
:
(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
垂径定理及推论:
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.
(5)平行弦夹的弧相等.
、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.
(2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.
(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示.
(4)垂心:是三角形三边高线的交点.
、性质:
(1)切线的判定:
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质:
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.
:
设⊙O半径为R,点O到直线l的距离为d.
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R.
(3)直线l和⊙O有两个公共点直线l和⊙O相交d<R.
:
设的半径为R、r(R>r),圆心距.
(1)没有公共点,且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R+r.
(2)没有公共点,且的每一个点都在外部内含d<R-r
(3)有唯一公共点,除这个点外,每个圆上的点都在另一个圆外部外切d=R+r.
(4)有唯一公共点,除这个点外,的每个点都在内部内切d=R-r.
(5)有两个公共点相交R-r<d<R+r.
:
(1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点.
:
圆的面积公式:,周长C=2πR.
圆心角为n°、半径为R的弧长.
圆心角为n°,半径为R,弧长为l的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为l的圆柱的体积为,侧面积为2πRl,全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为l,高为h的圆锥的侧面积为πRl,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。
 
圆周长
弧长
圆面积
扇形面积
公
式
(2)扇形与弓形的联系与区别
(2)扇形与弓形的联系与区别
图
示
面
积
 
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2,圆锥的侧面积,圆锥的全面积
说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,若圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面积,圆柱的全面积
知识小结:
圆锥与圆柱的比较
名称
圆锥
圆柱
图形
图形的形成过程
 
由一个直角三角形旋转得到的,如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。
由一个矩形旋转得到的,如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。
图形的组成
一个底面和一个侧面
两个底面和一个侧面
侧面展开图的特征
扇形
矩形
面积计算方法
 第二十五章概率初步


具有下列三个特性的试验称为随机试验:
(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;·
(2)每次试验的可能结果不止一个,但事先知道每次试验所有可能的结果;