二次函数知识点总结(详细).doc

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学生姓名
年级
初三
上课日期
2015/11
学科
数学
课题名称
二次函数知识点总结
计划时长
2h
教学目标
教学重难点
一、二次函数概念:
:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,.
:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
二、二次函数的基本形式
:的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
:
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
:
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
:
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
三、二次函数图象的平移
:
方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:

在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成
(或)
⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)
四、二次函数与的比较
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.
五、二次函数图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
六、二次函数的性质
,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.
,抛物线开口向下,对称轴为,,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
七、二次函数解析式的表示方法
:(,,为常数,);
:(,,为常数,);
:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.

在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
总结:

⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,,选择适当的形式,,有如下几种情况:
,一般选用一般式;
(小)值,一般选用顶点式;
,一般选用两根式;
,常选用顶点式.
九、二次函数与一元二次方程:
(二次函数与轴交点情况):
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数:
①当时,图象与轴交于两点,.
②当时,图象与轴只有一个交点;
③当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
,交点坐标为,;
:
⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
十、函数的应用
二次函数应用
一、二次函数的定义
例1、已知函数y=(m-1)xm2+1+5x-3是二次函数,求m的值。
练习、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。
二、五点作图法的应用
,
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
1、(2009泰安)抛物线的顶点坐标为
(A)(-2,7)(B)(-2,-25)(C)(2,7)(D)(2,-9)
2、(2009年南充)抛物线的对称轴是直线()
A. B. C. D.
3、(2009年遂宁)把二次函数用配方法化成的形式
三、及的符号确定
,试确定:
(1)及的符号;(2)与的符号。
1、已知二次函数()的图象如图所示,有下列四个结论:④,其中正确的个数有()

2、已知二次函数的图象如图所示,有以下结论:①;②;③;④;⑤其中所有正确结论的序号是()
A.①② B. ①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤
1
1
O
x
y
y
x
O
1
-1
3、二次函数的图象如图所示,则下列关系式中错误的是()
<0
>0
C.>0
D.>0
图12为二次函数的图象,给出下列说法:
①;②方程的根为;③;④当时,y随x值的增大而增大;⑤当时,.
其中,正确的说法有.(请写出所有正确说法的序号)
5、已知=次函数y=ax+bx+:ac,a+b+c,4a-2b+c,2a+b,2a-b中,其值大于0的个数为()
B3 C、4 D、5
四、二次函数解析式的确定
:
(1)抛物线过(0,2),(1,1),(3,5);
(2)顶点M(-1,2),且过N(2,1);
(3)已知抛物线过A(1,0)和B(4,0)两点,交y轴于C点且BC=5,求该二次函数的解析式。
练习:根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
当x=3时,y最小值=-1,且图象过(0,7)
图象过点(0,-2)(1,2)且对称轴为直线x=
图象经过(0,1)(1,0)(3,0)
五、二次函数与x轴、y轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)
已知抛物线y=x2-2x-8,
(1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点;
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。
1、二次函数y=x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为
如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,
则△ABC的面积为()

3、若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m的取值范围是
六、直线与二次函数的问题
例6已知:二次函数为y=x2-x+m,(1)写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标;(2)m为何值时,顶点在x轴上方,(3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4时,求此二次函数的解析式.
1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。
例7已知关于x的二次函数y=x2-mx+与y=x2-mx-,这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A,B两个不同的点.
(1)试判断哪个二次函数的图像经过A,B两点;
(2)若A点坐标为(-1,0),试求B点坐标;
(3)在(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?
练面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB=2OA,点A的坐标是(-1,2).
(1)求点B的坐标;
(2)求过点A、O、B的抛物线的表达式;
(3)连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P,使得S△ABP=S△ABO.
例8已知:m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标.
七、用二次函数解决最值问题
例9某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元)
15
20
30
…
y(件)
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?
?平时我们在跳大绳时,,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)
()


八、二次函数应用
(一)经济策略性
,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格。经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件。假定每月销售件数y(件)是价格X的一次函数.(1)试求y与x的之间的关系式.
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本)
,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元。
(1)设X天后每千克活蟹的市场价为P元,写出P关于X的函数关系式。
(2)如果放养X天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q元,写出Q关于X的函数关系式。
(2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=销售总额—收购成本—费用),最大利润是多少?
自我检测(30分钟)
。
()
A. B.
C. D.
,下面说法正确的是()
,y随x增大而增大
,y随x增大而减小
,y随x增大而增大
,y随x增大而增大
,那么的图象()
(-1,3)(3,3)在抛物线上,则抛物线的对称轴是()
A. B. C. D.
()