直角三角形知识点及复习.doc

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一、直角三角形的性质
1、Rt△的两个锐角互余(∠A+∠B=90°)
2、斜边上的中线等于斜边的一半(若D为斜边AB的中点,则CD=AB)
3、30°角所对直角边等于斜边的一半(若∠A=30°,∠C=90°,CB=AB)
4、勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方(若∠C=90°,则)
二、直角三角形的判定
1、有两个锐角互余的△是直角三角形。
2、如果一个三角形中,一条边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角为90°
3、勾股定理的逆定理:如果三角形三边满足,则∠C=90°。
用法:(1)选出最大边;(2)计算较小两边的平方和;(3)比较最大边的平方与较小两边的平方和;(4)如果两者相等,则最大边所对的角为直角。
三、常用几个结论:
(1)

(2)直角三角形斜边上的高=两直角边乘积除以斜边。公式为
(3)常见的勾股数:
(3k,4k,5k)(5k,12k,13k)(7k,24k,25k)(8k,15k,17k)(9k,40k,41k)
(4)在求曲面上的最短距离时,先把曲面展开成平面图形,画出起点到终点的线段,就是最短距离,一般需要用到勾股定理。
(1)蚂蚁沿着圆柱表面爬行,最短距离
例1如图1有一个圆柱,它的高等于12cm,底面周长为10cm,在圆柱的下底面A点上有一只蚂蚁,他想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程是多少?
图2
半周长
图1
分析:可以把圆柱的侧面展开,其展开图为矩形,如图3所示。连接AC,则AC即为小虫爬行的最短路线,可用勾股定理求得其长。
解:①若沿着曲面走,则:AB=×10=5,BC=12,所以AC=
②若走折线A=>D=>C,则AC+DC=12+
∵12+>13
∴最短路程为13cm。
一般情况:①走曲面,②走折线,只需比较这两者的大小即可。
变式1如图2,已知圆柱体底面圆的半径为,高为2,AB、CD分别是两底面的直径。若一只小虫从A点出发,一直沿侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是____________________。(结果保留根式)
变式2如下图所示,圆柱形玻璃容器高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇,试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度。
解:如下图所示,把圆柱的半侧面展开成矩形,点S,F各自所在的母线为矩形的一组对边,上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边。该矩形上的线段SF即为所求的最短路线。
过点S作点F所在母线的垂线,得到。
。
(2)蚂蚁沿着长方体表面爬行,最短距离
例2如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,,一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点,需要爬行的最短距离是多少?
分析:假设长方体的长宽高为,则可能有三条路径:
①,②③
然后比较三者大小。
变式1:如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?(课本P29,12)
变式2:一只蚂蚁欲爬一棵3米高的树,树的直径为1米,若蚂蚁绕着树爬了三圈到达树顶,(1)求蚂蚁爬行的最短距离。(2)若爬n圈到达树顶呢?
              
〖解析〗因树为圆柱形,蚂蚁在树的表面上爬行,所以本题应该先分析蚂蚁的爬行路线,将圆柱形展开,所以蚂蚁的爬行路线如图二所示:A→C→D→B且AC=CD=BD,从图中可以知道,AM为圆柱的底面圆的周长,CM的长为1,AC=
=,所以蚂蚁行走的最短距离为3。或者用下图(n圈类推),
AB=
变式4:一个台阶如图,阶梯每一层高20cm,宽40cm,长50cm,一只蚂蚁从A点爬到B点,最短的路程是多少?
解答:按照直棱柱的表面展开图知识,最短距离为
但在我们作业中却出现了(cm)
《》复习学习路线图
一、温故知新
勾股定理:
勾股定理的逆定理:
二、示例
类型一已知两边求第三边
,若两边长分别为1cm,2cm,则第三边长为_____________.
类型二构造Rt△,求线段的长
,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,求EB的长.
,P为边长为2的正方形ABCD对角线AC上一动点,E为AD边中点,求EP+DP最小值。
例4、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________dm.
类型三判别一个三角形是否是直角三角形
例5、如图,正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且CE=∠AFE是直角吗?
类型四实际运用
例6、由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭。近日,A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处,以每时12km的速度向北偏东60度方向移动(如图),距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。①A城是否受到这次沙尘暴的影响?为什么?②若A城受到这次沙尘暴的影响,那么遭受影响的时间有多长?
类型五、拼图
例6、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是、、、,则=_______.
练习:
1、已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是________________.
2、如图4为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?
3、一种盛饮料的圆柱形杯,㎝,高为12㎝,吸管放进杯里,㎝,问吸管要做多长?
4、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行cm
5、在直角△ABC中,斜边长为2,周长为2+,求△ABC的面积.
如图,一根旗杆在离地面9米处断裂,旗杆顶部落立离旗杆底部12米处,旗杆折断之前有多高?
在下图中,BC长为3厘米,AB长为4厘米,AF为12厘米,求正方形CDEF的面积。
一架云梯长25米,如图斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,
(1)这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?
9、小明想测量学校旗杆的高度,他采用如下的方法:先降旗杆上的绳子接长一些,让它垂到地面还多1米,然后将绳子下端拉直,使它刚好接触地面,测得绳下端离旗杆底部5米,你能帮它计算一下旗杆的高度.
10、点A是一个为半径300m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B、C两个村庄,在BC两个村庄之间修一条长1000m的笔直公路将两村连通,经测量得∠ABC=45°,∠ACB=30°,问次公路是否会穿过该森林公园?请通过计算进行说明。
11、如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,其中,BC=6,AD=4,AB=5,.求证:AB=AC。
12、如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用、、表示,则不难证明.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用、、表示,那么、、之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用、、表示,请你确定、、之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形,其面积分别用、、表示,请你猜想、、之间的
关系?.
用勾股定理解题应注意的几个问题
一、注意分清直角边和斜边
1、在Rt中,a=8㎝,b=10㎝,,求第三边长c.
二、注意定理的应用条件
2、已知中,三边长a、b、c为整数,其中a=3㎝,b=4㎝,求第三边c的长.
三、注意定理和逆定理的区别(语言的叙述)
3、判断下列三条线断能否构成直角三角形:a=3、b=4、c=5.
四、注意分类讨论
4、在Rt中,已知两边长为3、4,(1)求第三边的长.(2)求斜边上的高。
5、已知在△ABC中,AB=4,AC=3,,求△ABC的周长.
6、已知在Rt△ABC中,两直角边的长为20和15,,,CD 为斜边上的高,求BD的长.
练习1
1、在△ABC中,∠B=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,若a=3,b=4,求c的长.
2、在△ABC中,AB=5,AC=10,BC边上的高AD=4,求BC的长.
3、一个三角形的三边的长分别是,,.问这个三角形是直角三角形吗?
4、已知△ABC的三边的长分别是BC=41,AC=40,AB=△ABC是直角三角形.
小华是这样解的:因为BC=41,AC=40,AB=9,所以,
所以∠C=90°,
所以△ABC是直角三角形.
小华的解题是否有错误,如果有错,错误的原因是什么?
5、下列长度的各组线段构成勾股数的是()
①,,②6,8,10③7,8,10④
小丽选择了①,②,④.她的选择正确吗?为什么?