圆知识点总结.doc

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一、圆的概念
集合形式的概念:
圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
轨迹形式的概念:
圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
二、圆的对称性
1、圆的轴对称性:圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性:圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。
三、垂径定理及其推论
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
推论1:
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及其推论可概括为:
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在⊙中,∵∥
∴弧弧
三、圆心角定理
①圆心角定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
即:①;②;
③;④弧弧
②圆心角的度数与它所对弧的度数相等。
三、圆周角定理及其推论
1、圆周角顶点在圆上,并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦,像这样的角叫做圆周角。
2、圆周角定理:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。
3、圆周角定理的推论
推论1:圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
推论2:同弧或等弧上所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。
推论3:直径(或半圆)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
推论4:圆内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:在⊙中,∵四边形是内接四边形
∴
推论5:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
注意:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
四、三角形外接圆和内切圆
(1)三角形的外接圆
①过三点的圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。
②经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
③三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等,任何一个三角形都有且只有一个外心。
④锐角三角形的外心在三角形的内部;
直角三角形的外心是斜边的中点;
钝角三角形的外心在三角形的外部。
(2)三角形的内切圆及有关计算
①与三角形各边都想切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。
②三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点,它到三角形各边的距离相等。任何一个三角形都有且只有一个内心,三角形的内心在三角形的内部。
③△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r=。
④S△ABC=,其中a,b,c是边长,r是内切圆的半径。
五、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系
1、点在圆内点在圆内;
2、点在圆上点在圆上;
3、点在圆外点在圆外;
(2)直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离无交点;
2、直线与圆相切有一个交点;
3、直线与圆相交有两个交点;
(3)圆与圆的位置关系
外离(图1)无交点;
外切(图2)有一个交点;
相交(图3)有两个交点;
内切(图4)有一个交点;
内含(图5)无交点;
六、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线;
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:∵且过半径外端
∴是⊙的切线
证明切线的方法:
已知直线过圆上点,作连接证明垂直;
②未知直线过圆上点,作垂直证明等于半径
补充:点到直线的距离公式
(2)切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
(3)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵、是的两条切线
∴
平分
七、弧长和扇形面积
1、弧长公式:n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为
2、扇形面积公式:(其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长。)
3、圆锥的侧面积:(其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径。)
八、补充
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
即:在⊙中,∵弦、相交于点,
∴
(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:在⊙中,∵直径,
∴
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即:在⊙中,∵是切线,是割线
∴
(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:在⊙中,∵、是割线
∴
(5)弦切角定理
弦切角:圆的切线与经过切点的弦所夹的角,叫做弦切角。
弦切角定理:弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。
即:∠BAC=∠ADC
(5)两圆公共弦定理
圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图:垂直平分。
即:∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
(6)圆的公切线
两圆公切线长的计算公式:
(1)公切线长:中,;
(2)外公切线长:是半径之差;内公切线长:是半径之和。
(7)扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形:(1)弧长公式:;
(2)扇形面积公式:
:圆心角:扇形多对应的圆的半径
:扇形弧长:扇形面积
2、圆柱:
(1)圆柱侧面展开图
=
(2)圆柱的体积:
(3)圆锥侧面展开图
①=
②圆锥的体积:
九、正多边形与圆
(1)与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的内切圆的半径叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
正多边形的每个中心角都等于360°n。
5、正多边形的对称性
正多边形都是轴对称图形。(一个正n边形共有n条对称轴,)
正多边形的各条对称轴相交于一点,这点到正多边形的各个顶点的距离相等,到各边的距离也相等。
当边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心。
任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆,圆心是各对称轴的交点。
(2)圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在中进行,:
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在中进行,.
十、辅助线总结