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第一章集合与函数概念
一、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
任何一个集合是它本身的子集。AÍA
①真子集:如果AÍB,且A¹B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
②如果AÍB,BÍC,那么AÍC
③如果AÍB同时BÍA那么A=B
,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
二、函数的有关概念
:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1;
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)
:先考虑其定义域
观察法;(2)图象法;(3)配方法;(4)换元法(5)利用函数单调性;
(6)分离常数法.
三、函数的性质
(局部性质)
(1)增函数:x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)
减函数:x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2)函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
任取x1,x2∈D,且x1<x2;
作差f(x1)-f(x2);
变形(通常是因式分解和配方);
定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)规律:增+增=增;减+减=减;增-减=增;减-增=减
复合函数:同增异减
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
(整体性质)
(1)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
确定f(-x)与f(x)的关系;
作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
注意:首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.
(3)规律:奇+奇=奇;偶+偶=偶;奇·偶=奇;奇·奇=偶;偶·偶=偶.

换元法或配凑法
待定系数法
消去法
利用函数奇偶性
(小)值
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
利用图象求函数的最大(小)值
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在
x=b处有最小值f(b).
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
当是奇数时,,当是偶数时,
分数指数幂:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
(二)指数函数及其性质
a>1
0<a<1
定义域R
定义域R
值域y>0
值域y>0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)
函数图象都过定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
二、对数函数
(一)对数
两个重要对数:常用对数:以10为底的对数;
自然对数:以无理数为底的对数的对数.
对数的运算性质
如果,且,,,那么:
·+;
-;
.
注意:换底公式
(,且;,且;).
利用换底公式推导下面的结论
(1);(2).
(三)对数函数
a>1
0<a<1
定义域x>0
定义域x>0
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点(1,0)
函数图象都过定点(1,0)
三、幂函数
幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
第三章函数的应用
1、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
2、函数零点的求法:
(代数法)求方程的实数根;
(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.