高数上册知识点（2）.doc

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函数与极限
函数
函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);
反函数、复合函数、函数的运算;
初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数;
函数的连续性与间断点;
函数在连续
第一类:左右极限均存在.
间断点可去间断点、跳跃间断点
第二类:左右极限、至少有一个不存在.
无穷间断点、振荡间断点
闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.
极限
定义
数列极限
函数极限
左极限:右极限:
极限存在准则
夹逼准则:
1)
2)
单调有界准则:单调有界数列必有极限.
无穷小(大)量
定义:若则称为无穷小量;若则称为无穷大量.
无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小
Th1;
Th2(无穷小代换)
求极限的方法
单调有界准则;
夹逼准则;
极限运算准则及函数连续性;
两个重要极限:
b)
无穷小代换:()
()
()
导数与微分
导数
定义:
左导数:
右导数:
函数在点可导
几何意义:为曲线在点处的切线的斜率.
可导与连续的关系:在点可导在点连续
求导的方法
导数定义;
基本公式;
四则运算;
复合函数求导(链式法则);
隐函数求导数;
参数方程求导;
对数求导法.
高阶导数
定义:
Leibniz公式:
微分
定义:,其中与无关.
可微与可导的关系:可微可导,且
微分中值定理与导数的应用
中值定理
Rolle定理:若函数满足:
1);2);3);
则.
Lagrange中值定理:若函数满足:
1);2);
则.
Cauchy中值定理:若函数满足:
1);2);3)
则
洛必达法则
Taylor公式
阶Taylor公式:
在与之间.
当时,成为阶麦克劳林公式:
在与之间.
常见函数的麦克劳林公式:
1)
在与之间,;
2)
在与之间,;
3)
在与之间,;
4)
在与之间,
5)
,
在与之间,.
单调性及极值
单调性判别法:,,则若,则单调增加;则若,则单调减少.
极值及其判定定理:
必要条件:在可导,若为的极值点,则.
第一充分条件:在的邻域内可导,且,则①若当时,,当时,,则为极大值点;②若当时,,当时,,则为极小值点;③若在的两侧不变号,则不是极值点.
第二充分条件:在处二阶可导,且,,则
①若,则为极大值点;②若,则为极小值点.
凹凸性及其判断,拐点
1)在区间I上连续,若,则称在区间I上的图形是凹的;若,则称在区间I上的图形是凸的.
2)判定定理:在上连续,在上有一阶、二阶导数,则
a)若,则在上的图形是凹的;
b)若,则在上的图形是凸的.
3)拐点:设在区间I上连续,是的内点,如果曲线经过点时,曲线的凹凸性改变了,则称点为曲线的拐点.
不等式证明
利用微分中值定理;
利用函数单调性;
利用极值(最值).
方程根的讨论
连续函数的介值定理;
Rolle定理;
函数的单调性;
极值、最值;
凹凸性.
渐近线
铅直渐近线:,则为一条铅直渐近线;
水平渐近线:,则为一条水平渐近线;
斜渐近线:存在,则为一条斜
渐近线.
图形描绘
步骤:
确定函数的定义域,并考察其对称性及周期性;
求并求出及为零和不存在的点;
列表判别函数的增减及曲线的凹向,求出极值和拐点;
求渐近线;
确定某些特殊点,描绘函数图形.
不定积分
概念和性质
原函数:在区间I上,若函数可导,且,则称为的一个原函数.
不定积分:在区间I上,函数的带有任意常数的原函数称为在区间I上的不定积分.
基本积分表(P188,13个公式);
性质(线性性).
换元积分法
第一类换元法(凑微分):
第二类换元法(变量代换):
分部积分法:
有理函数积分
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).
定积分
概念与性质:
定义:
性质:(7条)
性质7(积分中值定理)函数在区间上连续,则,使(平均值:)
微积分基本公式(N—L公式)
变上限积分:设,则
推广:
N—L公式:若为的一个原函数,则
换元法和分部积分
换元法:
分部积分法:
反常积分
无穷积分:
瑕积分:
(a为瑕点)
(b为瑕点)
两个重要的反常积分:
1)