构造直角三角形解题.docx

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构造直角三角形解题
在解某些问题时,假设能根据题意构造出直角三角形,那么可利用直角三角形的性质,巧妙地将题目解出。下面举例说明。
1、求线段长
[例1]在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,∠D=90°,AB=2,CD=1。求BC和AD的长。
解:延长AD、BC交于F,得Rt△ABF和Rt△CDF,且∠F=30°。
在Rt△ABF中,由AB=2,∠F=30°
得AF=2AB=4
同理可得CF=2,DF=
∴BC=BF-CF=,AD=AF-DF=4-。
2、求角的度数
[例2]如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=60°,D在AC的延长线上,AB=CD。求∠CBD。
解:作AE⊥BC于E,连DE,在Rt△ABE中
,BE=AE,在Rt△AEC中,
所以。那么AB=
而AB=,故CE=CD
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∠1=∠2=∠ACB=30°
又∠EAC=30°,所以DE=AE=BE
所以∠CBD=∠3=∠1=15°
3、证线段倍分
[例3]如图,∠B=90°,∠1=∠2=60°,∠C=45°,求证:CD+BD=AB。
证明:把△ABD绕AD翻转到△AB〞D的位置,那么B〞D=BD,AB〞=AB,∠B〞=∠B=90o,∠2=∠3。
由∠1+∠2+∠3=180°,知C、D、B〞三点共线,故△AB〞C为等腰直角三角形,从而有:CD+B〞D=AB〞,∴CD+BD=AB。
4、证不等
[例4]如图,在△ABC中,BC>AC,AD、BE为高,
求证:BC+AD>AC+BE。
证明:由题意,在BC上取一点A〞,使A〞C=AC,作A〞D〞⊥AC于D〞,A〞F⊥BE于F,那么四边形EFA〞D〞为矩形,得A〞D〞=FE
又有Rt△A〞D〞C≌Rt△ADC,于是A〞D〞=AD
∴BA〞=BC-A〞C=BC-AC
BF=BE-FE=BE-A〞D〞=BE-AD
在Rt△A〞BF中,BA〞>BF,即BC-AC>BE-AD
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∴BC+AD>AC+BE.
5、解三角问题
[例5]°的值。
解:构造如下图的Rt△ABC,那么
°=
6、解代数问题
[例6]假设a>3,求证:。
证明:作出如下图的Rt△ABC,由BD+AD>AB,得
∴
7、求最值
[例7]假设m、n、p为正实数,且,求:的最小值。
解:构造如下图的直角三角形,易知CD≤AE,即
&there4中考;
故的最小值为
[例8]求的最小值。
解:构造如下图的Rt△PAC,Rt△PBD,使AC=1,BD=2,PC=x,CD=4,且PC、PD在直线L上,那么所求最小值转化为“在直线L上求一点P,使PA+PB的值最小〞,取A点关于L的对称点A〞,那么有:
原式=PA+PB≥A〞B
故的最小值是5。