博弈论复习题及答案.docx

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判断题(每题1分,共15分)
囚犯窘境说明个人的理性选择不必定是集体的理性选择。(√)
子博弈精华纳什平衡不是一个纳什平衡。(×)
若一个博弈出现了欢天喜地的结局,说明该博弈是一个合作的正和博弈。()
博弈中知道越多的一方越有利。(×)
纳什平衡必定是良策平衡。(×)
良策平衡必定是纳什平衡。(√)
在一个博弈中只可能存在一个纳什平衡。(×)
在一个博弈中博弈方能够有好多个。(√)
在一个博弈中假如存在多个纳什平衡则不存在良策平衡。(√)
在博弈中纳什平衡是博弈两方能获取的最好结果。(×)
在博弈中假如某博弈方改变策略后受益增添则另一博弈方受益减少。(×)
良策平衡是帕累托最优的平衡。(×)
因为零和博弈中博弈方之间关系都是竞争性的、对峙的,所以零和博弈就是非合作博弈。
(×)
在动向博弈中,因为后行动的博弈方能够先察看对方行为后再选择行为,所以老是有利
的。(×)
在博弈中存在着先动优势和后动优势,所此后行动的人不必定总有利,比如:在斯塔克
伯格模型中,公司便可能拥有先动优势。
囚犯的窘境博弈中两个囚犯之所以会处于窘境,没法获取较理想的结果,是因为两囚犯
都不在意坐牢时间长短自己,只在意不可以比对方坐牢的时间更长。
(×)
纳什平衡即任一博弈方独自改变策略都只好获取更小利益的策略组合。(√)
不存在纯战略纳什平衡和存在唯一的纯战略纳什平衡,作为原博弈构成的有限次重复博
弈,共同特色是重复博弈实质上可是是原博弈的简单重复,重复博弈的子博弈完满纳什
平衡就是每次重复采纳原博弈的纳什平衡。(√)
多个纯战略纳什平衡博弈的有限次重复博弈子博弈完满纳什平衡路径:两阶段都采纳原
博弈同一个纯战略纳什平衡,或许轮番采纳不一样纯战略纳什平衡,或许两次都采纳混淆
战略纳什平衡,或许混淆战略和纯战略轮番采纳。(√)
假如阶段博弈G={A1,A2,⋯,An;u1,u2,⋯,un)拥有多重Nash平衡,那么可能(但不用)
存在重复博弈G(T)的子博弈完满平衡结局,此中关于随意的t<T,在t阶段的结局其实不是G
的Nash平衡。(√)(或:假如阶段博弈G={A1,A2,⋯,An;u1,u2,⋯,un)拥有多重Nash
平衡,那么该重复博弈G(T)的子博弈完满平衡结局,关于随意的t<T,在t阶段的结局一
定是G的Nash平衡。)
零和博弈的无穷次重复博弈中,所有阶段都不行能发生合作,局中人会向来重还原博弈
的混淆战略纳什平衡。(√)(或:零和博弈的无穷次重复博弈中,可能发生合作,局
中人不必定会向来重还原博弈的混淆战略纳什平衡。(×))
原博弈唯一的纳什平衡自己是帕雷托效率意义上最正确战略组合,切合各局中人最大利益:
采纳原博弈的纯战略纳什平衡自己是各局中人能实现的最好结果,切合所有局中人的利
益,所以,不论是重复有限次仍是无穷次,不会和一次性博弈有差别。(√)
原博弈唯一的纳什平衡自己是帕雷托效率意义上最正确战略组合,切合各局中人最大利益,
但唯一的纳什平衡不是效率最高的战略组合,存在潜伏合作利益的囚犯窘境博弈。(√)
(或:原博弈唯一的纳什平衡自己是帕雷托效率意义上最正确战略组合,切合各局中人最
大利益,不存在潜伏合作利益的囚犯窘境博弈。(×))
依据参加人行动的先后次序,博弈能够区分为静态博弈(staticgame)和动向博弈
(dynamicgame)。
假如阶段博弈G有独一的Nash平衡,那么对随意有限次T,重复博弈G(T)有独一的子博弈
完满结局:在每一阶段取G的Nash平衡策略。(√)
四、名词解说(每题3分,共15分)
参加人(player)
指的是博弈中选择行动以最大化自己功效(利润)的决议主体,参加人有时也称局中
人,能够是个人,也能够是公司、国家等集体;
策略(strategy)
是参加人选择行动的规则,如“以眼还眼”是一种策略;
信息(information)
是指参加人在博弈中的知识,特别是相关其余参加人的特色和行动的知识;
支付(payoff)函数
是参加人从博弈中获取的功效水平,它是所有参加人策略或行动的函数,是每个参加
人很关怀的东西;
结果(outcome)
是指博弈剖析者感兴趣的因素的会集,常用支付矩阵或利润矩阵来表示;
平衡(equilibrium)
是所有参加人的最优策略或行动的组合。
静态博弈
指参加人同时选择行动或虽非同时但后行动者其实不知道先行动者采纳什么样的行动;
动向博弈
指参加人的行动有先后次序,且后行动者能够察看到先行动者所选择的行动。
博弈
就是一些个人、队组或其余组织,面对必定的环境条件,在必定的规则下,同时或先
后,一次或多次,从各自赞同选择的行为或策略中进行选择并加以实行,各自获得相
应结果的过程。
零和博弈:
也称“严格竞争博弈”。博弈方之间利益一直对峙,偏好往常不一样
变和博弈:
零和博弈和常和博弈以外的所有博弈。合作利益存在,博弈效率问题的重要性。
完好信息静态博弈
即各博弈方同时决议,且所有博弈方对各方受益都认识的博弈。
良策:
不论其余博弈方选择什么策略,一博弈方的某个策略给他带来的受益一直高于其余
的策略,起码不低于其余策略的策略
良策平衡:
一个博弈的某个策略组合中的所有策略都是各个博弈方各自的良策,必然是该博弈比
较稳固的结果
严格下策:
不论其余博弈方的策略如何变化,给一个博弈方带来的利润老是比另一种策略给他带
来的利润小的策略
合作博弈
非合作博弈
零和博弈
常和博弈
变和博弈
良策平衡
纳什平衡
G{S1,Sn;u1,un}
纳什平衡:在博弈中,假如由各个博弈方的各一个策略构成
**
(si,s)
的某个策略组合中,任一博弈方的策略,都是对其余博弈方策略的组合
n****
(si,s,s,...s)的最正确对策,也即
i1i1n
*********
uis,s,s,s,...s)u(s,s,s,s,...s)s
(iS
对随意
j
ii1ii1niii1iji1ni
都建立,则称为的一个纳什平衡
(或纳什平衡是指这样一种策略组合,这类策略组合由所有参加人的最优策略构成,即
给定他人策略的状况下,没有任何单个参加人有踊跃性选择其余策略,进而没有任何参
与人有踊跃性打破这类平衡。)
完好信息博弈
G{S1,Sn;u1,un}
混淆策略:在博弈中,博弈方i的策略空间
Si{si1,sik}pi(pi1,pik)
为,则博弈方以概率散布随机在其k
个可选策略中选择的“策略”,称为一个“混淆策略”,此中
0pij1pi1pik1
对都建立,且
j1,,k帕累托良策平衡
风险良策平衡
聚点平衡
重复博弈
指相同结构的博弈重复多次,此中的每次博弈称为“阶段博弈”。
阶段博弈
重复博弈中的每次博弈称为“阶段博弈”。
贴现因子
下一期的一单位支付在这一期的价值。
触发战略(TriggerStrategy)
第一尝试合作,一旦发现对方不合作,则也用不合作相报复的战略。
子博弈精华纳什平衡
(夫妇博弈)一对新婚夫妇为夜晚看什么电视节目争吵不下,丈夫(记为I方)要看足
球竞赛节目,而老婆(记为Ⅱ方),相亲相爱,所以若这方
面的行动不一致,,这对夫妇间的争吵是一次非零和对策。
二、计算与剖析题(每题15分,共45分)
1、无穷次重复博弈与有限重复博弈的差别:
。在有限次重复博弈中,存在最
后一次重复正是损坏重复博弈中局中人利益和行为的互相限制关系,使重
复博弈没法实现更高效率平衡的重点问题。
,一定考虑
后一期受益的贴现系数,对局中人和博弈平衡的剖析一定以均匀受益或总
受益的现值为依据。
:试图“合作”和处罚“不合
作”是实现理想平衡的重点,是结构高效率平衡战略的核心构件。
2、爽口可乐与百事可乐(参加者)的价钱决议:两方都能够保持价钱不变或许提升价
格(策略);博弈的目标和得失状况表现为利润的多少(利润);利润的大小取决于双
方的策略组合(利润函数);博弈有四种策略组合,其结局是:
(1)假如两方都不涨价,各得利润10单位;
(2)假如爽口可乐不涨价,百事可乐涨价,爽口可乐利润100,百事可乐利润-30;
(3)假如爽口可乐涨价,百事可乐不涨价,爽口可乐利润-20,百事可乐利润30;
(4)假如两方都涨价,爽口可乐利润140,百事可乐利润35;
求纳什平衡。
博弈的稳固状态有两个:都不涨价或许都涨价(平衡),平衡称为博弈的解。
3、猪圈里有一头大猪和一头小猪,猪圈的一头有一个饲料槽,另一头装有控制饲料供应
的按钮。按一下按钮就会有10个单位饲料进槽,但谁按谁就要付出2个单位的成本。谁去按按纽则谁后到;都去按则同时到。若大猪先到,大猪吃到9个单位,小猪吃到一个
单位;若同时到,大猪吃7个单位,小猪吃3个单位;若小猪先到,大猪吃六个单位,
小猪吃4个单位。各样状况组合扣除成本后的支付矩阵可以下表示(每格第一个数字是
大猪的受益,第二个数字是小猪的受益):
小猪
按等候
大猪按5,14,4
等候9,-10,0
求纳什平衡。
在这个例子中,我们能够发现,大猪选择按,小猪最好选择等候,大猪选择不按,小猪
仍是最好选择等候。即不论大猪选择按仍是不按,小猪的最正确策略都是等候。也就是说,
不论如何,小猪都只会选择等候。这样的状况下,大猪最好选择是按,因为不按的话都
饿肚子,按的话还能够有4个单位的利润。所以纳什平衡是(大猪按,小猪等候)。
4、依据两人博弈的支付矩阵回答以下问题:
ab
A2,30,0
B0,04,2
(1)写出两人各自的所有策略,并用等价的博弈树来从头表示这个博弈(6分)
(2)找出该博弈的所有纯策略纳什平衡,并判断平衡的结果是不是Pareto有效。
(3)求出该博弈的混淆策略纳什平衡。(7分)
(1)策略
甲:AB
乙:ab
博弈树(草图以下:
(2)PureNE(A,a);(B,b)
都是Pareto有效,仅(B,b)是K-H有效。
(3)MixedNE((2/5,3/5);(2/3,1/3))
5、用反响函数法求出以下博弈的所有纯战略纳什平衡。
参加人2
abcd
A2,33,23,40,3
参加人B4,45,20,11,2
1
C3,14,11,410,2
D3,14,1-1,210,1
解答:
纯策略纳什平衡为(B,a)与(A,c)
剖析过程:设两个参加人的行动分别为
a和a,
12
B,假如aa
2
player1的反响函数
R(a)
12
B,假如ab
2
A,ac
假如
2
C或许D,假如ad
2
c,aA
假如
1
player2的反响函数
R(a)
21
a,aB
假如
1
c,aC
假如
1
c,假如a
1
D
交点为(B,a)与(A,c),所以纯策略纳什平衡为(B,a)与(A,c)。
6、(entrydeterrence市场威慑)考虑下边一个动向博弈:第一,在一个市场上潜伏的
进入者选择能否进入,而后市场上的已有公司(在位者)选择能否与新公司睁开竞争。
在位者可能有两种种类,温柔型(左图)和残忍型(右图),回答下边问题。
(20,30)(10,20)
默许默许
在位者
在位者
进入进入
斗争斗争
进入者(-10,0)(-10,25)
进入者
不进入不进入
(0,100)(0,100).
左图:温柔型右图:残忍型
(1)找出给定在位者的两种种类所分别对应的纳什平衡,以及子博弈精华纳什平衡(12
分)
(2)已有公司为温柔型的概率起码多少时,新公司才愿意进入(8分)
(1)温柔NE(in,accommodate)和(out,fight)。SPNE为(in,accommodate)
残忍NE(out,fight).SPNE同理
8、博弈方1和博弈方2就如何分10,000元钱进行讲价还价。假定确立了以下规则:
两方同时提出自己要求的数额A和B,0≤A,B≤10,000。假如A+B≤10,000,则两
博弈方的要求获取知足,即分别得A和B,但假如A+B>10,000,则该笔钱就充公。问
该博弈的纳什平衡是什么?假如你是此中一个博弈方,你会选择什么数额?为何?
答十、纳什平衡有无数个。最可能的结果是(5000,5000)这个聚点平衡。
9、北方航空公司和新华航空公司分享了从北京到南方冬季度假胜地的市场。假如它们合
作,各获取500000元的垄断利润,但不受限制的竞争会使每一方的利润降至60000元。
假如一方在价钱决议方面选择合作而另一方却选择降低价钱,则合作的厂商赢利将为零,
竞争厂商将赢利900000元。
(1)将这一市场用囚犯窘境的博弈加以表示。
(2)解说为何平衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。
答:(1)用囚犯窘境的博弈表示以下表:
北方航空公司
合作竞争
新华航空公司
合作500000,5000000,900000
竞争900000,060000,60000
(2)假如新华航空公司选择竞争,则北方航空公司也会选择竞争(60000>0);若新
华航空公司选择合作,北方航空公司仍会选择竞争(900000>500000)。若北方航空公司
选择竞争,新华航空公司也将选择竞争(60000>0);若北方航空公司选择合作,新华航空公司仍会选择竞争(900000>0)。因为两方总偏好竞争,故平衡结果为两家公司都选择
竞争性策略,每一家公司所赢利润均为600000元。
12、设啤酒市场上有两家厂商,各自选择是生产高价啤酒仍是低价啤酒,相应的利润(单
位:
万元)由以下图的受益矩阵给出:
(1)有哪些结果是纳什平衡?
(2)两厂商合作的结果是什么?
答(1)(低价,高价),(高价,低价)
(2)(低价,高价)
13、A、B两公司利用广告进行竞争。若A、B两公司都做广告,在未来销售中,A公司能够获取20万元利润,B公司可获取8万元利润;若A公司做广告,B公司不做广告,A
公司可获取25万元利润,B公司可获取2万元利润;若A公司不做广告,B公司做广告,A公司可获取10万元利润,B公司可获取12万元利润;若A、B两公司都不做广告,A公司可获取30万元利润,B公司可获取6万元利润。
(1)画出A、B两公司的支付矩阵。
(2)求纳什平衡。
:(1)由题目中所供应的信息,可画出A、B两公司的支付矩阵(以下表)。
B公司
做广告不做广告
A公司
做广告20,825,2
不做广告10,1230,6
(2)因为这是一个简单的完好信息静态博弈,关于纯策纳什平衡解可运用划横线法
求解。
假如A厂商做广告,则B厂商的最精选择是做广告,因为做广告所获取的利润8大
于不做广告获取的利润2,故在8下边划一横线。假如A厂商不做广告,则B厂商的最优
选择也是做广告,因为做广告获取的利润为12,而不做广告的利润为6,故在12下边划
一横线。
假如B厂商做广告,则A厂商的最精选择是做广告,因为做广告获取的利润20大于
不做广告所获取的利润10,故在20下边划一横线。假如B厂商不做广告,A厂商的最优
选择是不做广告,因为不做广告获取的利润30大于做广告所获取的利润25,故在30下
面划一横线。
在本题中不存在混淆策略的纳什平衡解,所以,最后的纯策略纳什平衡就是A、B两
厂商都做广告。
15、求出下边博弈的纳什平衡(含纯策略和混淆策略)。
乙
LR
甲
U5,00,8
D2,64,5
由划线法易知,该矩阵博弈没有纯策略Nash平衡。
可得以下不等式组
Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1
可得混淆策略Nash平衡((
1
9
8
,),(
9
4
7
3
,)
7
16、某产品市场上有两个厂商,各自都能够选择高质量,仍是低质量。相应的利润由如
下受益矩阵给出:
(1)该博弈能否存在纳什平衡?假如存在的话,哪些结果是纳什平衡?
参照答案:
由划线法可知,该矩阵博弈有两个纯策略Nash平衡,即(低质量,高质量),(高质量,
低质量)。
乙公司
高质量低质量
甲企
高质
量
50,50100,800
业
低质
量
900,600-20,-30
该矩阵博弈还有一个混淆的纳什平衡
Q=a+d-b-c=-970,q=d-b=-120,R=-1380,r=-630,可得
x
12856375
所以该问题的混淆纳什平衡为((,),(,))。
9797138138
12
97
,y
63
138
17、甲、乙两公司分属两个国家,在开发某种新产品方面有以下利润矩阵表示的博弈关
系。试求出该博弈的纳什平衡。假如乙公司所在国政府想保护本国公司利益,能够采纳
什么举措?
乙公司
开发不开发
甲企开发-10,-10100,0
业
不开
发
0,1000,0
解:用划线法找出问题的纯策略纳什平衡点。
所以可知该问题有两个纯策略纳什平衡点(开发,不开发)和(不开发,开发)。
该博弈还有一个混淆的纳什平衡((
101),(
,
1111
10))。
1
,
1111
假如乙公司所在国政府对公司开发新产品补助a个单位,则利润矩阵变成:
10,10a,要使(不开发,开发)成为该博弈的独一纳什平衡点,只需a>10。此时乙
100,00,100a0,0
公司的利润为100+a。
18、博弈的利润矩阵以下表:
乙
左右
甲
上a,bc,d
下e,fg,h
(1)假如(上,左)是占优策略平衡,则a、b、c、d、e、f、g、h之间必然知足
哪些关系?(尽量把所有必需的关系式都写出来)
(2)假如(上,左)是纳什平衡,则(1)中的关系式哪些一定知足?
(3)假如(上,左)是占优策略平衡,那么它能否必然是纳什平衡?为何?
(4)在什么状况下,纯战略纳什平衡不存在?
答:(1)ae,cg,bd,fh。本题此外一个思虑角度是从占优策略平衡的定
义出发。对乙而言,占优策略为(b,f)(d,h);而对甲而言,占优策略为(a,c)(e,g)。综合